Линеаризация в пространстве состояний

Как было показано выше, описание в пространстве состояний можно получить, выполняя преобразование ПФ объекта. Однако возможен и другой путь – на основании линеаризации исходных нелинейных уравнений объекта.

Рассмотрим нелинейное уравнение состояния

где X и F – векторы размерностью [ n × 1], U – вектор размерностью [ r × 1].

Пусть X ₀ – рабочая точка нелинейной системы n -го порядка, а U ₀ – постоянное значение входа, соответствующее этой точке.

Предположим, что появляется отклонение:

Тогда

Для j -й компоненты вектора X можно записать:

Поскольку

Получаем

Для всех компонентов вектора X:

где

Эти матрицы называются якобианами.

Для удобства записи обычно вместо D X используют X, и вместо D U – U:

где под X понимаются отклонения переменных состояния от их установившихся значений, а под U – отклонения входных воздействий.

Рассмотрим пример линеаризации нелинейной системы.

Пусть дано нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

где все переменные являются функциями времени.

Введем переменные состояния:

Нелинейные уравнения состояния примут вид:

В векторной форме:

Рассмотрим аппроксимацию этих нелинейных уравнений в рабочей точке X ₀, U ₀.