Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Каноническая форма управляемости



Задача выбора переменных состояния в общем случае неоднозначна, однако для скалярных систем существуют стандартные алгоритмы перехода от дифференциального уравнения, описывающего систему, к уравнениям состояния.

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом (рис. 1.7).

W
u (t)
y (t)


Рис. 1.7. Одномерная система

Связь между входом и выходом описывается соотношением

Обозначая через s оператор дифференцирования:

Введем обозначения:

тогда можно записать:

Вводя обозначение:

имеем:

Пусть переменные состояния определяются соотношением:

Тогда можно записать:

Рассмотрим еще раз уравнение

в развернутом виде:

откуда следует

окончательно в матричной форме получается:

Такое представление уравнений состояния называется канонической формой Фробениуса, или канонической формой управляемости.

Рассмотрим еще раз уравнение

В развернутом виде:

Поскольку mn (условие физической реализуемости), можно положить m = n при равенстве нулю коэффициентов b i с индексами i > m.

Тогда при использовании введенных переменных состояния следует:

и, окончательно,

Таким образом, в канонической форме управляемости уравнения состояния имеют вид:

где

Пример 1.8. Пусть объект управления описывается ПФ:

тогда

и, очевидно,

b 2 = 0, b 1 = 2, b 0 = 3.

a 2 = 1, a 1 = 4, a 0 = 1.

Уравнения состояния в канонической форме управляемости приобретают вид:

Пример 1.9. Апериодическое звено 1-го порядка:

Здесь

b 0 =K, a 1 =T, a 0 = 1.

Получается система уравнений

Этой системе соответствует система, приведенная на рис. 1.8.

u (t)
y (t)
K
x (t)


Рис. 1.8. Апериодическое звено 1-го порядка

Пример 1.10. Запишем уравнения состояния для системы, приведенной на рис. 1.9.

u (t)
x 2(t)
x 1(t)


Рис. 1.9. Пример динамической системы

Передаточная функция системы:

b 0 = 2, a 2 = 2, a 1 = 1, a 0 = 0.

Уравнения состояния:

Пример 1.11. Пусть задана передаточная функция

здесь

b 3 = 1, b 2 = 12, b 1 = 5, b 0 = 1,

a 3 ,= 2, a 2 ,= 10, a 1 = 2, a 0 = 1.

Используя каноническую форму управляемости, получаем:

Кроме канонической формы управляемости существует каноническая форма наблюдаемости, в которой наиболее простой вид имеет матрица С.

В канонической форме наблюдаемости уравнения состояния имеют вид:

.

Таким образом, описанный алгоритм получения канонической формы управляемости скалярной системы позволяет легко выполнять переход от описания системы, заданного ПФ, к описанию в пространстве состояний.

Поскольку выбор переменных состояния неоднозначен, одной и той же ПФ могут соответствовать разные модели в пространстве состояний, но при обратном переходе всем этим моделям соответствует одна и та же ПФ.

Иногда ПФ называют внешней моделью системы, а представление в пространстве состояний – внутренней моделью.





Дата публикования: 2015-02-20; Прочитано: 1229 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...