Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Задача выбора переменных состояния в общем случае неоднозначна, однако для скалярных систем существуют стандартные алгоритмы перехода от дифференциального уравнения, описывающего систему, к уравнениям состояния.
Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом (рис. 1.7).
W |
u (t) |
y (t) |
Рис. 1.7. Одномерная система
Связь между входом и выходом описывается соотношением
Обозначая через s оператор дифференцирования:
Введем обозначения:
тогда можно записать:
Вводя обозначение:
имеем:
Пусть переменные состояния определяются соотношением:
Тогда можно записать:
Рассмотрим еще раз уравнение
в развернутом виде:
откуда следует
окончательно в матричной форме получается:
Такое представление уравнений состояния называется канонической формой Фробениуса, или канонической формой управляемости.
Рассмотрим еще раз уравнение
В развернутом виде:
Поскольку m ≤ n (условие физической реализуемости), можно положить m = n при равенстве нулю коэффициентов b i с индексами i > m.
Тогда при использовании введенных переменных состояния следует:
и, окончательно,
Таким образом, в канонической форме управляемости уравнения состояния имеют вид:
где
Пример 1.8. Пусть объект управления описывается ПФ:
тогда
и, очевидно,
b 2 = 0, b 1 = 2, b 0 = 3.
a 2 = 1, a 1 = 4, a 0 = 1.
Уравнения состояния в канонической форме управляемости приобретают вид:
Пример 1.9. Апериодическое звено 1-го порядка:
Здесь
b 0 =K, a 1 =T, a 0 = 1.
Получается система уравнений
Этой системе соответствует система, приведенная на рис. 1.8.
u (t) |
y (t) |
K |
x (t) |
Рис. 1.8. Апериодическое звено 1-го порядка
Пример 1.10. Запишем уравнения состояния для системы, приведенной на рис. 1.9.
u (t) |
x 2(t) |
x 1(t) |
Рис. 1.9. Пример динамической системы
Передаточная функция системы:
b 0 = 2, a 2 = 2, a 1 = 1, a 0 = 0.
Уравнения состояния:
Пример 1.11. Пусть задана передаточная функция
здесь
b 3 = 1, b 2 = 12, b 1 = 5, b 0 = 1,
a 3 ,= 2, a 2 ,= 10, a 1 = 2, a 0 = 1.
Используя каноническую форму управляемости, получаем:
Кроме канонической формы управляемости существует каноническая форма наблюдаемости, в которой наиболее простой вид имеет матрица С.
В канонической форме наблюдаемости уравнения состояния имеют вид:
.
Таким образом, описанный алгоритм получения канонической формы управляемости скалярной системы позволяет легко выполнять переход от описания системы, заданного ПФ, к описанию в пространстве состояний.
Поскольку выбор переменных состояния неоднозначен, одной и той же ПФ могут соответствовать разные модели в пространстве состояний, но при обратном переходе всем этим моделям соответствует одна и та же ПФ.
Иногда ПФ называют внешней моделью системы, а представление в пространстве состояний – внутренней моделью.
Дата публикования: 2015-02-20; Прочитано: 1229 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!