Фундаментальная матрица состояния

Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение 1-го порядка

где a и b – числа, x и u – скалярные переменные.

Преобразование этого уравнения по Лапласу дает

Обратное преобразование Лапласа этого уравнения дает

Это формула обобщается для системы произвольного вида

Введем обозначение

Тогда

Таким образом, матричная экспоненциальная функция Ф(t) описывает свободное движение системы. Она называется фундаментальной матрицей или переходной матрицей состояния.

Если U = 0, то происходит свободное движение системы, т.е.

X (t) = Ф(t) X (0).

В развернутом виде можно записать

Здесь φ_ij(t) представляет собой реакцию i -й переменной состояния на начальное значение j -й переменной состояния при условии, что начальные значения всех остальных переменных состояния равны 0.

Определим выходной сигнал системы, используя преобразование Лапласа. Для этого матричную запись уравнений состояния

Преобразуем это уравнение по Лапласу и получим окончательный результат в матричной форме

Где вектор начальных условий

Выразим вектор состояния через остальные переменные:

Тогда вектор состояния X (t) будет обратным преобразованием Лапласа от X (s).

Общее решение матричного уравнения определятся через фундаментальную матрицу Ф (t):

Ф(t) = L ^-1{(sI – A)^-1}.

Заметим, что для системы n -го порядка фундаментальная матрица имеет размерность (). Обратное преобразование Лапласа для матрицы определяется путем применения обратного преобразования к каждому элементу этой матрицы.

Пример 1.6. Дана матрица системы

Требуется найти фундаментальную матрицу.

Решение.

Присоединенная матрица

.

и вычислим определитель

.

Тогда обратная матрица будет получена путем деления присоединенной матрицы на определитель

.

Фундаментальную матрицу получим с помощью обратного преобразования Лапласа

.

Программа MatLab позволяет выполнить эти преобразования более экономно