Преобразование подобия

Для одной и той же системы можно предложить неограниченное количество троек матриц A, B, C, каждой из которых будет соответствовать модель в переменных состояния. Выбор той или иной модели зависит от конкретных обстоятельств:

Преобразованиями подобия называются такие преобразования, которые изменяют внутреннюю структуру системы (модель состояния), но не изменяют соотношение между входом и выходом (передаточную функцию системы).

Для системы с вектором состояния X рассмотрим невырожденное линейное преобразование

где Z – вектор состояния системы в новом базисе, P – произвольная невырожденная матрица (определитель не равен нулю).

Для перехода к новому базису подставим новый вектор состояния

или

где

Если в системе имеется ненулевая матрица D, то D_z = D.

Пример 1.15.Пусть дана система, матрицы A, B и C которой имеют вид:

Запишем уравнения состояния

Этим уравнениям соответствует структурная схема, приведенная на рис.1.15.

x 1 = y (t)

x 2

u (t)

Рис. 1.15. Система из двух интеграторов

Очевидно, что для этой схемы

Рассмотрим невырожденное преобразование координат, заданное матрицей P:

Преобразованные матрицы в новой системе координат имеют вид:

,

.

Таким образом,

Полученным уравнениям состояния соответствует структура, показанная на рис. 1.16.

z 1

u (t)

z 2

y (t)

Рис. 1.16. Преобразованная система из двух интеграторов

Для проверки построим передаточную функцию:

Таким образом, разным представлениям в пространстве состояний соответствует одна и та же ПФ.

Можно показать в общем виде, что преобразования подобия не меняют ПФ объекта.

.

Соответственно, можно сделать вывод, что при преобразованиях подобия не меняются и корни характеристического уравнения.

Можно также показать, что преобразования подобия не изменяют такие свойства системы как управляемость и наблюдаемость.

Например, рассмотрим преобразование матрицы управляемости.