ФУНКЦИИ. Пусть имеется множество Dназываемое областью определения

Пусть имеется множество D называемое областью определения. И пусть имеется множество Е называемое областью значений.

Определение. Соответствие, которое каждому элементу х Î D относит некоторый элемент у Î Е, называется отображением D в Е.

Элемент х Î D (прообраз у) называется переменным или аргументом, элемент у Î Е называется значением или образом.

Отображение называют также функцией, обозначают обычно буквами f, y, j и записывают у = f (х). Употребляется также запись х ® f (х), которая читается: элементу х соответствует элемент f (х). Встречается также запись f:D ® Е,которая читается: f есть отображение множества D во множество Е. Еще говорят, что f есть функция переменного х со значениями в Е или что у = f (x) есть образ элемента х при отображении f (или посредством f).

Необходимо четко различать переменное х, которое является элементом множества D, значение функции f (х), которое является элементом множества Е, и операцию f, которая представляет собой категорию, отличную от двух предыдущих. В данном определении функции существенны еще два момента: во-первых, указание множества D для элементов х (т.е. области определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия f между элементами х Î D и у Î Е. Множество же принимаемых функцией значений f (х), являющееся подмножеством множества Е области значения функции обычно не указывается, поскольку самый закон соответствия уже определяет это подмножество. Обозначается множество значений принимаемых функцией либо f (D), либо Е (f);

f (D) = Е (f) = { f (x) | х Î D } Ì E

и называется образом множества D при отображении f или просто образомотображения f. Итак, при отображении f: D ® E не все элементы у Î Е обязаны быть образами какого-либо х Î D.