Произведение множеств

Пусть имеются два множества А и В и пусть а Î А, b Î В. Рассмотрим упорядоченную пару (а, b), причем пары (а, b) и (b, а) считаются различными, даже если А=В. Совокупность всевозможных упорядоченных пар (а, b) составляет новое множество, называемое произведением А на В и обозначается А ´ В. Элементы а и b называются компонентами, или координатами пары (а, b).

В качестве примера на рис.1.6 рассмотрено произведение двух точечных множеств А и В геометрического пространства.

– А´B – B´A

Рис. 1.6

Из рис.1.6 видно, что А ´ В ¹ В ´ А и, следовательно, произведение множеств не коммутативно.

Когда множество В тождественно множеству А (В = А), то А ´ А представляет собой множество упорядоченных пар ( а, а ¢), где а и а ¢ принадлежат одному и тому же множеству А (а Î А и а¢ Î А). Такое множество называется декартовым квадратом. Но и в этом случае (а, а ¢) ¹ (а ¢, а). Проиллюстрируем это на примере точечных множеств (рис.1.7).

Множество точек заштрихованной части плоскости составляет множество А ´ А – декартовый квадрат.

– А ´ A

Рис. 1.7

Вообще пусть имеется совокупность множеств А ₁, А ₂, А ₃, ..., А_n, не обязательно различных, будем называть произведением и обозначать через

А ₁´ А ₂´ А ₃ ´ ... ´ А_n

множество упорядоченных систем (а ₁, а ₂, а ₃, ..., а_n), где i - й элемент принадлежит множеству А_i. СимволP означает знак произведения:

Индекс i называется операторным индексом. Он может быть заменен любой другой буквой

Определение. Элемент произведения бесконечного числа множеств, равных множеству R действительных чисел называется числовой последовательностью.

(b ₁, b ₂, b ₃, ..., b_n, ...) Î R ´ R ´ R ´ ... ´ R ´. ....