Параметрическое уравнение прямой

Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.

Пусть на координатной плоскости заданы:

а) точка ;

б) ненулевой вектор (рис.3.13).

Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору и проходящей через точку .

Выберем на прямой произвольную точку . Обозначим и — радиус-векторы точек и (рис.3.14).

Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: , где — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что , получим векторное параметрическое уравнение прямой:

где — направляющий вектор прямой, а — радиус-вектор точки, принадлежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения (3.11) называется параметрическим уравнением прямой

где — координаты направляющего вектора прямой. Параметр в уравнениях (3.11),(3.12) имеет следующий геометрический смысл: величина пропорциональна расстоянию от начальной точки до точки . Физический смысл параметра в параметрических уравнениях (3.11), (3.12) — это время при равномерном и прямолинейном движении точки по прямой. При точка совпадает с начальной точкой , при возрастании движение происходит в направлении, определяемым направляющим вектором .