Теоретичні відомості. Випадкові процеси типу «загибель-розмноження» являють собою різновид марковських ВП, що характеризуються скінченною множиною станів та відбуваються у

Випадкові процеси типу «загибель-розмноження» являють собою різновид марковських ВП, що характеризуються скінченною множиною станів та відбуваються у безперервному часі. Системи типу «загибель-розмноження» мають певну характерну структуру графа станів і переходів, у якому діють дві протилежні тенденції, два протилежних потоки подій: один з яких прагне перевести систему в крайній лівий стан, а другий – у крайній правий (див. рис. 6.1).

Рис. 6.1. Структура графа станів і переходів системи типу «загибель-розмноження»

У загальному випадку інтенсивності потоків l_j, m_j залежать від стану, в якому перебуває система. Передбачається, що в системі всі потоки подій l_j, m_j – найпростіші й щільність розподілу ймовірності часового інтервалу між подіями підлягає показовому закону. У цьому випадку процес зміни станів у системі буде марковським, а імовірності станів системи в граничному стаціонарному режимі при заданих значеннях інтенсивностей можуть бути розраховані за відомими формулами, а саме:

, ,

,

де l_ij – інтенсивності потоків подій, що переводять систему з i-го стану в j-й.

Багато реальних об'єктів (так названі системи масового обслуговування) добре описуються моделлю «загибель-розмноження», що має таку структуру: інтенсивності потоків подій l_j = l = const, m_j = jm, (див. рис. 6.2).

Рис. 6.2. Структура графа станів і переходів системи масового обслуговування

Для такої системи ймовірності станів можуть бути безпосередньо розраховані за формулами Ерланга, а саме:

, (6.1)

при цьому .