Теоретичні відомості. Функціонування динамічної системи можна розглядати як послідовну зміну в часі її станів

Функціонування динамічної системи можна розглядати як послідовну зміну в часі її станів. Якщо кількість можливих станів системи X_j, j = , а перехід з одного стану в інший може відбуватися в будь-який момент часу, то такі процеси називають ВП із скінченною множиною станів і безперервним часом. Розрахунки таких процесів значно спрощуються, якщо вони є марковськими.

Нехай маємо випадковий процес, що відбувається в системі, можливі стани якої X₀, X₁,… X_i,… X_j,… Позначимо умовну ймовірність того, що в момент часу t (t = t₀+t) система перейде в стан X_j, якщо в момент t₀ вона перебувала в стані X_i, через P_ij(t₀,t). ВП називається марковським, якщо ця ймовірність P_ij(t₀,t) залежить тільки від величин i, j, t₀,t, тобто тільки від того, у якому стані система перебувала в момент часу t₀ і в який стан вона перейде через час t.

Для опису поведінки системи в класі марковських дискретних процесів, що відбуваються у безперервному часі, необхідно:

1. Ввести поняття стану системи.

2. Перелічити всі стани, у яких може перебувати система.

3. Скласти граф станів, тобто окреслити шляхи можливих безпосередніх переходів системи з одного стану в інший.

4. Для розрахунку перехідних процесів у системі визначити, у якому стані вона перебувала в початковий момент часу.

5. Для кожного можливого переходу на графі позначити інтенсивність l _ij потоку подій, що переводять систему зі стану X_i у стан X_j. Як правило, величини l _ij визначаються експериментально.

Вичерпною характеристикою марковського процесу є сукупність імовірностей P_j(t) того, що процес у момент часу t буде перебувати в стані X_j, j= . Ці ймовірності визначаються на основі розв’язання системи диференціальних рівнянь:

, ; (5.1)

. (5.2)

Система рівнянь (5.1) визначає перехідний процес у припущенні, що початковий стан динамічної системи буде Р ₀.

Якщо з кожного стану системи можна перейти в будь-який інший стан, то такій системі буде властивий граничний стаціонарний режим. Наприклад, система, що зображена на рис. 5.1, а, має стаціонарний режим, а система на рис. 5.1, б – ні.

а

б

Рис. 5.1. Граф станів системи: а – системі властивий стаціонарний режим; б – система не має стаціонарного режиму

У практичному аспекті неабиякий інтерес викликає встановлення ймовірностей станів системи в граничному стаціонарному режимі.

Для їхнього розрахунку використовується система алгебраїчних рівнянь, отриманих з системи (5.1) шляхом прирівнювання нулю похідних, а саме:

, (5.3)

Як бачимо, система (5.3) лінійно залежна, тому її варто доповнити такою умовою:

(5.4)