Приклад розв’язування задачі

Дано такі безперервні реалізації ВП X(t) і Y(t) на інтервалі 0¸Т (Т = 30): n = 3, m = 30 (рис. 1.1). За цими даними оцінити характеристики випадкових функцій X(t) і Y(t) – m_Х(t), D_X(t), K_X(t,t´), m_Y(t), D_Y(t), K_Y(t,t´), а також взаємокореляційну функцію й побудувати їхні графіки.

Рис. 1.1. Графіки реалізацій ВП X(t) і Y(t) на інтервалі 0¸Т (Т = 30)

Розв’язок

1. За графіком зробимо m вимірів значень ВФ X(t) і Y(t), записавши їхні результати у вигляді таблиць.

2. Обчислимо оцінки математичних сподівань ВФ X(t) і Y(t), використовуючи наведені нижче формули і записавши результати у вигляді таблиць.

.

.

3. Проведемо розрахунки оцінок дисперсій ВФ X(t) і Y(t) за поданими формулами і запишемо результати розрахунків у таблиці.

4. Обчислимо оцінки автокореляційних функцій ВФ X(t) і Y(t), за поданими нижче формулами, звівши отримані результати у таблиці.

,

.

Отримані оцінки автокореляційних функцій являють собою симетричні стосовно головної діагоналі матриці розміром , на головній діагоналі яких розташовані дисперсії. Отже, основні властивості автокореляційної функції виконуються, значить, обчислення були виконані правильно.

5. Обчислимо оцінку взаємокореляційної функції ВФ X(t) і Y(t) й запишемо отримані результати таким чином:

.

Матриця оцінки взаємокореляційної функції є несиметричною матрицею розміром , що відповідає загальному випадку.

5. За результатами обчислень побудуємо графіки оцінок ВФ (рис. 1.2 – 1.6).

Рис. 1.2. ВФ X(t), її математичне сподівання й дисперсія

Рис. 1.3.ВФ Y(t), її математичне сподівання й дисперсія

Рис. 1.4. Автокореляційна функція

ВФ X(t)

Рис. 1.5. Автокореляційна функція ВФ Y(t)

Рис.1.6.Взаємокореляційна функція ВФ X(t) і Y(t.

Контрольні питання

1. Дайте визначення ВФ.

2. Що називають реалізацією ВФ?

3. Визначте поняття математичного сподівання ВФ, які особливості ВФ характеризує математичне сподівання?

4. Назвіть властивості математичного сподівання ВФ.

5. Чи є математичне сподівання ВФ випадковою функцією?

6. Дайте визначення дисперсії випадкової функції. Які особливості ВФ вона характеризує?

7. Назвіть властивості дисперсії ВФ.

8. Чому математичне сподівання та дисперсія не є достатніми для визначення основних особливостей ВФ?

9. Що називають кореляційною (автокореляційною) функцією ВФ? Які особливості ВФ вона характеризує?

10. Назвіть властивості кореляційної функції.

11. Що характеризує взаємокореляційна функція випадкових функцій?

12. Яким чином обчислюють характеристики ВФ за даними реалізаціями.