Теоретический материал. Матрица, состоящая из строк и столбцов, называется квадратной матрицей порядка :

Матрица, состоящая из строк и столбцов, называется квадратной матрицей порядка :

.

Элементы образуют главную диагональ матрицы.

У единичной матрицы порядка элементы главной диагонали равны единицы, а остальные элементы равны нулю: то есть

.

Для - матриц справедливы равенства .

Каждой - матрице соответствует определитель -го порядка, который состоит из тех же элементов, расположенных в том же порядке, что и в матрице:

.

Произведение двух квадратных матриц всегда определено; при этом определитель матрицы – произведения равен произведению определителей матриц – сомножителей: .

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля , и вырожденной в противном случае .

Всякая невырожденная матрица порядка имеет обратную матрицу того же порядка , удовлетворяющую соотношениям

.

Обратная матрица имеет вид

, (2.1)

где - алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы , то есть элементы обратной матрицы находятся по формулам .

Свойства обратной матрицы

(здесь - матрицы, - число)

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Пример

Задание: Для матрицы найти обратную матрицу и проверить, что .

Решение: Так как , то матица имеет обратную матрицу, элементы которой равны .

Вычислим алгебраические дополнения элементов для :

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Теперь, используя формулу (2.1), находим обратную матрицу

.

Далее вычислим произведение

=

= .

Аналогично находим

. Итак, обратная матрица вычислена правильно.