Теоретический материал. Прямоугольная матрица размера ( -матрица) имеет вид таблицы, состоящей из

Прямоугольная матрица размера ( -матрица) имеет вид таблицы, состоящей из строк и столбцов:

.

Элемент матрицы находится на пересечении -ой строки и -го столбца, ; .

У нулевой матрицы 0 все элементы равны нулю:

.

Матрица – столбец ( -матрица) состоит из одного столбца:

,

а матрица – строка ( -матрица) из одной строки:

.

Произведением двух матриц и называется матрица , каждый элемент которой определяется по правилу строка на столбец, то есть элемент стоки матрицы умножается на элемент столбца матрицы стоящие на соответствующих местах.

Из определения произведения матриц следует, что не любые две матрицы можно перемножать. Произведение имеет смысл только тогда, когда число столбцов первой матрицы-сомножителя равно числу строк второй матрицы-сомножителя, что символически записывается так:

.

Транспонирование -матрицы заключается в замене строк столбцами, а столбцов – строками с теми же номерами:

.

Матрица размера называется суммой двух -матриц и , если каждый элемент матрицы равен сумме соответствующих элементов матриц и :

.

Определителем второго порядка называется число, определяемое равенством

. (1.1)

Числа называются элементами определителя; при этом элементы и образуют главную диагональ, а элементы и - побочную диагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое равенством

(1.2)

.

Таким образом, каждый член определителя третьего порядка представляет собой произведение трех его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с определенными знаками: со знаком «плюс» – члена, состоящие из элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «минус» – три члена, расположенные аналогичным образом относительно побочной диагонали.

Указанное правило, называется правилом треугольников.

Минором элемента называется определитель , полученный из вычеркиванием -ой строки и -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на :

.

Определитель -го порядка равен сумме произведений элементов какой – либо строки или столбца на их алгебраические дополнения:

(разложение определителя по элементам -ой строки) или

(разложение определителя по элементам -го столбца).

В частности, для определителя третьего порядка имеем

,

что совпадает с результатом, полученным по формуле (1.2).