Нормальні напруження при чистому згині

Згин балки, при якому згинальний момент сталий по довжині бруса, а поперечна сила дорівнює нулю, називається чистим згином. Чистий згин можна отримати, якщо прикласти до бруса в кінцевих перерізах рівні за величиною і протилежного напрямку пари сил, які діють в площині симетрії бруса (рисунок 8.7, а) або навантажити брус силами (рисунок 8.7, б). Досвід показує, що при чистому згині повздовжні лінії ab i a _o b _o, нанесені на поверхню бруса, викривляються, а поперечні a _o a i b _o b повертаються, залишаючись прямими і перпендикулярними зігнутим лініям (рисунки 8.8, в, г). Повздовжні волокна бруса зазнають простого розтягу або стиску, не спричинюючи взаємного бокового стиску.

Рисунок 8.7

По висоті перерізу бруса деформація розтягання і стискання змінюється безперервно. Отже, в середині бруса існує шар, який відділяє зону розтягання від зони стискання. Волокна цього шару не зазнають ніякої деформації. Такий шар називають нейтральним. Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу бруса називається нейтральною лінією.Визначимо величину

нормальних напружень (рисунок 8.8, б), які виникають при чистому згині. Для цього розглянемо деформацію ділянки бруса, вирізаної двома перерізами, розташованими на відстані dx один від одного (рисунок 8.8, а). Нейтральний шар на цьому рисунку зображений лінією a _o b _o= dx.

Позначимо радіус кривизни нейтрального шару через r, а кут повороту перерізу n-n відносно перерізу m-m - через d q. Розглянемо відносне видовження довільного волокна ab, розташованого на відстані у від нейтрального шару (рисунок 8.8, б).

Рисунок 8.8

. (8.14)

За законом Гука нормальне напруження в волокні ab буде рівне

. (8.15)

Розглянемо переріз m-m (рисунок 8.8, б). Візьмемо на площині перерізу елементарну площадку dА з координатами y і z. На цю площадку діє нормальне зусилля . Сума моментів елементарних внутрішніх

сил dN відносно осі z дає величину внутрішнього згинального моменту, який діє в цьому перерізі

. (8.16)

Підставимо значення s _х із (8.15)

або ,

де - осьовий момент інерції бруса відносно осі z.

Перепишемо (8.16) у вигляді

. (8.17)

Вираз (8.17) – це залежність між згинальним моментом і кривизною осі бруса при чистому згині. Добуток EI_z називається жорсткістю поперечного перерізу бруса при згині. Підставивши (8.17) в (8.15) знайдемо

. (8.18)

Вияснимо положення осі z - нейтральної лінії перерізу. При чистому згині нормальна сила в перерізі дорівнює нулю, тобто

. (8.19)

Оскільки , то . Цей інтеграл являє собою статичний момент площі перерізу бруса відносно осі z, оскільки , то вісь z проходить через центр ваги перерізу.

При чистому згині дорівнює нулю згинальний момент відносно осі у, тобто

. (8.20)

Оскільки відцентровий момент , то вісь z є головною.

Отже нейтральна лінія при згині збігається з головною віссю перерізу.

Як видно із (8.8) нормальні напруження змінюються по висоті перерізу за лінійним законом. На рисунку 8.9 показані епюри нормальних напружень. Найбільші напруження виникають у точках найбільш віддалених від нейтральної лінії, для яких y = y _max. Величину найбільших напружень у перерізі визначають за формулою

. (8.21)

Величина

(8.22)

називається осьовим моментом опору перерізу. Поняття моменту опору вводиться тільки для перерізів, симетричних відносно нейтральної осі (рисунок 8.9, а, б). Для таких перерізів формула (8.21) записується у вигляді

Рисунок 8.9

(8.23)

Якщо переріз несиметричний відносно нейтральної лінії, то

, (8.24)

де у_А, у_В -координати найбільш віддалених точок перерізу.