Рівняння пружної лінії зігнутої балки

В інженерній практиці розраховують балки не тільки на міцність, але й на жорсткість. При згині жорсткість характеризується здатністю балки чинити опір викривленню. При деформації в межах пружності зігнуту вісь балки називають пружною лінією. Відхилення будь-якої точки осі балки від первісної прямої називають прогином. Кут повороту будь-якого перерізу балки відносно його початкового положення називають кутом повороту перерізу.

Раніше було установлено, що кривизна пружної лінії прямо пропорційна згинальному моменту (8.17)

.

З курсу вищої математики відомо, що

, (8.34)

таким чином

. (8.35)

Рівняння (8.35) називають диференціальним рівнянням пружної лінії і інтегрування цього рівняння пов’язане з великими труднощами. Тому в тих випадках, коли прогини невеликі, величиною порівняно з одиницею можна знехтувати. Тоді дістанемо наближене диференціальне рівняння пружної лінії у вигляді

. (8.36)

Знак кривизни може не збігатися зі знаком згинального моменту і залежить від напрямку координатних осей. Якщо вісь у направити вверх а вісь х вправо, то знаки у ² і М_z збігаються, тому в (8.36) запишемо знак “плюс”

. (8.37)

Інтегруючи це рівняння один раз, дістанемо рівняння кутів повороту

. (8.38)

Інтегруючи вдруге, знайдемо

, (8.39)

де С ₁ і С ₂ -сталі інтегрування, які можна знайти із граничних умов.

Наприклад, для балки, показаної на рисунку 8.13 граничні умови

Рисунок 8.13

такі: при х =0, y (0)=0 i q(0)=0 (8.40)   Враховуючи, що для цієї балки

після інтегрування (8.38) і (8.39) будемо мати

(8.41)

Використовуючи граничні умови (8.40), маємо С ₁= С ₂=0. Знайдені значення С ₁ і С ₂ підставимо в рівняння (8.41) тоді одержимо рівняння кутів повороту

і рівняння пружної лінії

.

Підставивши х = l, знайдемо кут повороту і прогин вільного кінця балки

.

Знак “мінус” говорить про те, що переріз повернувся вправо і балка прогнулась вниз.