Статично невизначувані задачі при крученні

Якщо крутні моменти, що виникають у поперечних перерізах бруса, не можуть бути визначені за допомогою лише рівнянь статики, то такі задачі називають статично невизначуваними.

Рисунок 7.6

План розв’язування статично невизначуваних задач при крученні розглянемо на такому прикладі. Визначити розміри поперечних перерізів стержня (рисунок 7.6), який закріплено з обох боків і скручується парою сил з моментом m =30 кНм. На ділянці АВ переріз стержня прямокутний, h / b =1.5; на ділянці ВС -круглий, причому d = b. Допустиме напруження [t] =6 МПа. Побудувати епюру кутів закручування, якщо G =8×104 МПа, а =0.5м.

Щоб розв’язати задачу необхідно визначити реактивні моменти М_А і М_С. Оскільки для цього випадку можна скласти тільки одне рівняння статики

(7.21)

то задача є один раз статично невизначуваною. Необхідне для розв’язування ще одне рівняння отримаємо із умови, що кут закручування стрижня в перерізі

j_С=0, (7.22)

оскільки стержень в цьому перерізі закріплений.

Використовуючи формулу (7.12) запишемо (7.20) у вигляді

, (7.23)

Тепер (7.23) запишемо у вигляді

,

або

,

звідки

M_A =0,66 M.

а із (7.21) знайдемо

M_C =0,34 M.

За отриманими результатами побудована епюра крутних моментів М_х (рисунок 7.6, а)

Максимальні напруження:

на ділянці АВ

,

на ділянці ВС

.

Епюра напружень показана на рисунку 7.6, в. Найбільші напруження, як бачимо, мають місце в точках, які знаходяться по середині довгих сторін прямокутного перерізу (ділянка АВ). Для них необхідно задовольнити умову міцності

,

звідки

м.

Приймаємо d =100 мм, b =100 мм, h =150 мм.

Кут повороту перерізу В відносно закріпленого перерізу А

рад.

Епюра кутів закручування показана на рисунку 7.6, г.

8 ЗГИН