Початкових параметрів

Визначення переміщень методом безпосереднього інтегрування диференційного рівняння пружної лінії в випадку балок з великою кількістю ділянок ускладнено. Ці труднощі пов'язані не з інтегруванням диференціальних рівнянь, а з технікою визначення довільних сталих інтегрування - складанні і розв'язуванні систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Так, якщо балка має n ділянок, то інтегрування диференціального рівняння (8.36) необхідно виконувати для кожної ділянки. В такому випадку буде 2 n сталих інтегрування, які визначають із умов на границях ділянок. Тому на практиці часто використовують метод початкових параметрів, який базується на диференціальних залежностях, справедливих для будь-якого перерізу балки між кутом повороту q та моментом M_z і дозволяє при будь-якій кількості ділянок звести розв'язання до визначення всього двох сталих - прогину і кута повороту перерізу в початку координат.

Рисунок 8.14

, (8.42)   між прогином y та кутом повороту q   . (8.43)   При використанні цього методу початок координат розміщують в крайньому лівому перерізі і він є загальним для всіх ділянок балки.

Згинальний момент визначають як алгебраїчну суму моментів всіх сил розміщених зліва від перерізу. При цьому зовнішній зосереджений момент M ₁ (рисунок 8.14), прикладений на відстані a від початку координат, множать на величину (x-a)⁰, яка дорівнює 1, а розподілене навантаження, у випадку його обриву (наприклад при x = d) продовжують до перерізу, в якому визначають переміщення і починаючи з перерізу x = d вводять розподілене навантаження протилежного напрямку. Інтегрування диференціального рівняння виконують не розкриваючи дужок.

Напишемо вираз для згинального моменту в перерізі з координатою “ x ” (рисунок 8.14)

(8.44)

Проінтегруємо (8.37) з врахуванням (8.44) один раз, одержимо рівняння кутів повороту для балки сталої жорсткості

(8.45)

Інтегруючи вдруге, одержимо рівняння прогинів

(8.46)

В перерізі балки, де взято початок координат, в загальному випадку будуть діяти поперечна сила, згинальний момент, а також будуть мати місце кут повороту і прогин, які ми позначили відповідно Q ₀, M ₀, q₀, y ₀ і називатимемо їх далі початковими параметрами (рисунок 8.14). Для балки, показаної на рисунку 8.14, Q ₀= P, M ₀= M, а значення q₀ і y ₀ можна визначити із умов закріплення

y (b ₁)=0, y (l)=0.

Слід відмітити, що при визначенні кута повороту і прогину в перерізі з координатою x в рівняння (8.45) і (8.46) входять тільки ті навантаження, які знаходяться між початком координат і перерізом.

Приклад. Напишемо рівняння кутів повороту і прогинів для балки, показаної на рисунку 8.15.

Рисунок 8.15

Рівняння прогинів: y 0=0, оскільки початок координат збігається з опорою,   M 0=0, Q 0= RA =2 qa.

Початковий параметр q₀ визначимо із умови: при х =7 а, y (7 а)=0

Тепер рівняння прогинів приймає вигляд

Запишемо рівняння кутів повороту

Визначимо, використовуючи ці рівняння, вертикальне переміщення і кут повороту перерізу B, для якого x =2 a

Знак “мінус” говорить про те, що при х =2 а (переріз В) балка прогинається вниз, а переріз повертається вправо.

ДОДАТОК А

Механічні характеристики вуглецевих конструкційних сталей

Марка сталі				Відносне вдовження d, %, при l= 10 d	Ударна в'язкість ак ´10-5 (Нм)/м2
не менше			МПа
МПа
20Г 30Г 50Г 20Х 40Х 45Х 30ХМ 35ХМ 40ХН 50ХН 40ХФА 38ХМЮА 12ХН3А 20ХН3А 30ХН3А 40ХНМА 30ХГСА			- - - - - - - - - - - - 390 - - - 400 - - - -		- - - -	16-22 17-22 19-25 20-27 22-30 23-32 25-34 27-35 - 31-38 - 22-32 29-36 35-38 40-50 31-41 47-51 38-49 42-55 39-47 42-45 52-70 50-70 51-54	12-15 12-46 - 17-21 17-22 18-24 19-25 20-26 - 22-28 - - - - -	8-12 10-13