Уравнение Бернулли для потока идеальной (невязкой) жидкости

При решении практических задач, связанных с движением жидкости, приходится иметь дело с потоками конечных размеров. Поток в этом случае рассматривают как совокупность множества элементарных струек. При переходе от элементарной струйки к целому потоку воспользуемся двумя вспомогательными положениями:

1) При параллельно-струйном и плавно изменяющемся движении жидкости распределение давления в данном плоском живом сечении потока следует гидростатическому закону, т.е. давление распределяется так же, как и в покоящейся жидкости, это значит, что для различных точек данного живого сечения величины z и имеют разное значение, однако сумма их постоянна:

. (13)

Рис. 13. Распределение давления в плоских живых сечениях

а) действительный поток б) расчетный (условный) поток

Рис. 14. К вопросу о коэффициентах Буссинеска α₀ и Кориолиса α:

u – местная скорость; υ – средняя скорость; ω – площадь живого сечения; h – глубина потока

2) Рассмотрим влияние неравномерности распределения скоростей по плоскому живому сечению на величину количества движения (КД) и величину кинетической энергии (КЭ) некоторой массы жидкости.

На рис. 14 изображены две разные схемы продольного разреза потока безнапорного движения (открытое русло). В действительном потоке (схема а) эпюра скоростей по живому сечению характеризуется неравномерным распределением: самые высокие скорости наблюдаются вблизи поверхности, у дна они приближаются к нулю (по теории Прандтля). В расчетах принимаются осредненные скорости, для этого эпюру действительного потока аппроксимируют и считают, что скорости по всему живому сечению одинаковы (схема б):

, м/с. (14)

Переход от действительного потока к расчетному приводит к некоторой погрешности. Количественно эту погрешность позволяют учесть следующие сопоставления величин КД и КЭ:

1) Отношение действительной величины количества движения массы жидкости КД (М)_д, проходящей за некоторое время через рассматриваемое живое сечение, к условной («средней») величине количества движения КД (М)_ср, равно некоторому безразмерному поправочному коэффициенту α₀, называемому коэффициентом Буссинеска.

– корректив количества движения.

2) Отношение действительной величины кинетической энергии массы жидкости КЭ (М)_д, проходящей за некоторое время через рассматриваемое живое сечение, к условной («средней») величине кинетической энергии КЭ (М)_ср, равно некоторому безразмерному поправочному коэффициенту α, называемому коэффициентом Кориолиса.

– корректив кинетической энергии.

При равномерном движении жидкости эти коэффициенты часто оказываются равными. При неравномерном движении значения могут значительно отличаться от единицы. Вместе с тем очень часто в практике встречаются такие случаи движения жидкости, когда величины все же достаточно близки к единице и их при расчетах не учитывают.

Для окончательных выводов по уравнению Бернулли для целого потока идеальной жидкости напомним:

- идеальная жидкость – это воображаемая жидкость, в которой отсутствует вязкость, т.е. нет сил трения, и она абсолютно несжимаема;

- целый поток – это поток, имеющий поперечные сечения конечных размеров;

- по-прежнему рассматривается только параллельно-струйное и плавно изменяющееся движение, т.е. случай, когда расчетные живые сечения плоские, причем будем пользоваться понятием средней скорости.

Полный напор для целого потока идеальной жидкости запишется:

, м, (15)

где α – корректив кинетической энергии, коэффициент Кориолиса.

Уравнение Бернулли для целого потока идеальной жидкости запишется:

(16)