Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной (невязкой) жидкости

Для вывода этого уравнения воспользуемся известной из механики теоремой: изменение кинетической энергии рассматриваемого тела на некотором его перемещении равно сумме работ всех сил, приложенных к этому телу на том же перемещении:

. (5)

Выделим в пространственной элементарной струйке объем dV, ограниченный в некоторый момент времени t сечениями 1-1 и 2-2, нормальными к оси струйки. Силы внутреннего трения в такой жидкости отсутствуют и к выделенному объему струйки приложены только силы тяжести G и силы гидродинамического давления P₁ и Р₂ со стороны отброшенных частей струйки.

Рис. 10. К выводу уравнения (10)

Пусть за некоторый промежуток времени dt выделенный объем жидкости переместится на расстояние dl₁ (сечение 1-1), dl₂ (сечение 2-2) и займет новое положение 1'-1' и 2'-2'. Обозначив скорости υ₁ и υ₂ в сечениях 1-1 и 2-2, изменение кинетической энергии (левая часть уравнения (5)) запишется:

. (6)

Сумма работ, произведенная этой энергией за этот же промежуток времени (правая часть уравнения (5)):

. (7)

Работа сил тяжести равна работе, совершаемой массой выделенного объема струйки, переместившейся из положения 1-2 в положение 1'-2', т.е. на разность геодезических высот z₁-z₂ (отсек 1-1' переместился в положение 2-2', а отсек 1'-2 остался на месте):

. (8)

Работа сил гидродинамического давления, действующего на торцевые сечения 1-1 и 2-2 выделенного объема со стороны окружающей его жидкости равна:

. (9)

Подставим полученные выражения (6), (8) и (9) в (7):

.

Разделим это выражение на , т.е. отнесем его к единице веса того объема жидкости, который проходит за время dt через живое сечение струйки. Преобразуем выражение, сгруппировав все члены с индексом «1» влево, с индексом «2» вправо

(вдоль струйки), м. (10)

Это уравнение называется уравнением Бернулли, оно было получено Даниилом Бернулли в 1738 г. Сумму трех слагаемых, входящих в уравнение, называют полной удельной энергией жидкости в данном сечении. По существу это уравнение представляет собой закон сохранения энергии. В нем: z – координата (отметка), представляющая собой возвышение рассматриваемой струйки над горизонтальной плоскостью сравнения 0-0; – пьезометрическая высота (напор), отвечающая гидродинамическому давлению жидкости в данном живом сечении, определяется высотой столба жидкости; – скоростная высота (напор). Значения трех слагаемых, входящих в уравнение, показаны на рис. 11.

Рис. 11. Пьезометр (П₁) и трубка Пито (П₂)