Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать реальную, то уравнение Бернулли (16) существенным образом изменится: полная удельная энергия жидкости по направлению потока (вниз по течению) убывает. Причина этому – неизбежные затраты на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости. Уравнение запишется:

(17)

где h_f – величина полных потерь напора, это полная энергия, теряемая в среднем единицей веса на пути от 1-го до 2-го сечения за счет работы внутренних и внешних сил трения.

Рис. 15. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для целого потока реальной жидкости:

0-0 – плоскость сравнения; Р-Р – пьезометрическая линия; Е-Е – напорная линия; Н – полный напор; I - пьезометрический уклон; i - гидравлический уклон; А-А – линия полного напора (полной энергии)

Падение полного напора по длине называется гидравлическим уклоном, т.е.

, (18)

другими словами, гидравлический уклон – это элементарное снижение напорной линии, отнесенное к соответствующей элементарной длине

. (19)

Пример. Определить расход воды, проходящий через трубопровод переменного сечения. Потерями напора пренебречь, коэффициент Кориолиса принять равным =1; диаметры труб d₁= 200 мм, d₂= 100 мм; перепад уровней в пьезометрах h= 1 м.

Решение. Составим уравнение Бернулли для двух сечений 1-1 и 2-2, которые выбираем по 1-му и 2-му пьезометрам, так как в этих сечениях нам известно давление. Плоскость сравнения 0-0 выбираем по оси трубы: ;

Рис. 16

где z₁ = z₂ = 0, так как трубопровод горизонтальный и ось его совпадает с плоскостью сравнения, h_f – пренебрегаем по условию.

Тогда из уравнения Бернулли будет:

.

Давление и нам не известно, но разность этих давлений мы знаем – h =1м.

Следовательно: .

Получили уравнение, в котором два неизвестных.

Воспользуемся уравнением неразрывности:

.

Откуда можно выразить скорость во втором сечении υ₂

(*).

Подставляем (*) в выражение

.

Учитывая, что , можно записать:

.

Откуда определяем скорость:

.

Из уравнения расхода получим:

.

Подставляя численные значения в полученное выражение, определим расход

0,0366 м³/с = 36,6 л/с.