Магнитогорск, 2012 2 страница

а) б)

Ответ: а) ;

б)

Вариант 13

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -50.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (3; 2; -1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ;

б)

Вариант 14

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 36.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (1; -1; 3).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) нет решений; б) .

Вариант 15

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -15.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (8; -4; 2).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ:

а) ; б)

Вариант 16

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 0.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (1; 0; 2).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ;

б) .

Вариант 17

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 18.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (-8; -4; -13).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

б)

Ответ: а) ;

б) .

Вариант 18

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 18.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (2; -1; 2).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ; б) .

Вариант 19

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 19.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (2; -1; 3).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ:а); б).Вариант 20

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 20.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (5; -1; 2).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) нет решений; б) .

Вариант 21

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -21.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (3; 1; -1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) нет решений; б) .

Вариант 22

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -40.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (2; -2; 3).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ;

б) .

Вариант 23

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -42.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (-2; 2; -1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) нет решений; б) .

Вариант 24

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -24.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (1; 1; 3).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) нет решений; б) .

Вариант 25

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 50.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (-1; 2; -2).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ; б) .

ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры

Вопросы для самоподготовки

1. Что такое вектор?

2. Что называется базисом на прямой, плоскости и пространстве?

3. Какие операции над векторами называются линейными?

4. Как определяются эти операции и каковы их свойства?

5. Линейные операции над векторами в координатной форме.

6. Что называется скалярным произведением двух векторов? Каковы его свойства? Как выражается скалярное произведение через координаты векторов-сомножителей?

7. Как определить угол между двумя векторами?

8. Что называется векторным произведением двух векторов? Каковы его свойства? Как выражается векторное произведение через координаты векторов-сомножителей?

9. Что называется смешанным произведением двух векторов? Каковы его свойства? Как выражается смешанное произведение через координаты векторов-сомножителей?

10. Определение коллинеарных векторов. Условие коллинеарности векторов.

11. Каково условие ортогональности векторов?

12. Определение компланарных векторов. Условие компланарности векторов.

Вариант 1

1. Даны четыре вектора , , и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Даны векторы и . Найти длинны векторов и , построенных по векторам и ; косинус угла между векторами и ; . Проверить коллинеарность векторов и .

3. При каких значениях векторы и ортогональны, если , , ?

4. Даны вершины : , , . Вычислить его площадь и длину высоты, опущенной из вершины на сторону .

5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если , , .

6. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

7. Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Вычислить её объем и высоту, опущенную на грань .

Вариант 2

1. Даны четыре вектора , , и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Даны векторы и . Найти длинны векторов и , построенных по векторам и ; косинус угла между векторами и ; . Проверить коллинеарность векторов и .

3. Найти длину вектора , зная, что , , .

4. Даны вершины : , , . Вычислить его площадь и длину высоты, опущенной из вершины на сторону .

5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где и – единичные взаимно перпендикулярные векторы.