Магнитогорск, 2012 1 страница

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Г.И. Носова»

Кафедра математики

Вахрушева И.А.

Гугина Е.М.

Захаркина Е.И.

Максименко И.А.

СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ПО МАТЕМАТИКЕ

Для студентов технических специальностей

Часть 1

Магнитогорск, 2012

Составители:

Вахрушева И.А., Гугина Е.М., Грачева Л.А., Захаркина Е.И., Максименко И.А.

Сборник индивидуальных заданий по математике для студентов технических специальностей. Част 1. – Магнитогорск, 2012. – 309 с.

Рецензенты: к. ф.-м. н., доцент каф мат. анализа МаГУ Шеметова В.В.,

к. ф.-м. н., доцент каф математики МГТУ Изосова Л.А.

В сборник индивидуальных заданий вошли варианты типовых расчетов и ИДЗ (вопросы для теоретической подготовки и ответы), а также контрольных работ, предлагаемых студентам 1 курса технических специальностей на первом курсе по темам:

- элементы линейной алгебры (матрицы, СЛАУ),

- элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,

- векторное пространство и линейный оператор,

- кривые второго порядка,

- элементы математического анализа (предел функции, производная функции одной переменной),

- применение производной к исследованию функции и построению графиков,

- неопределенный, определенный и несобственный интегралы и их приложения.

© Вахрушева И.А., Гугина Е.М., Грачева Л.А.,

Захаркина Е.И., Максименко И.А.,

Магнитогорск, 2012

Оглавление

ТЕМА 1. Элементы линейной алгебры: матрицы, определители матриц. Системы линейных алгебраических уравнений. 14

Вопросы для самоподготовки: 14

Вариант 1. 16

Вариант 2. 17

Вариант 3. 18

Вариант 4. 19

Вариант 5. 20

Вариант 6. 21

Вариант 7. 22

Вариант 8. 23

Вариант 9. 24

Вариант 10. 25

Вариант 11. 26

Вариант 12. 27

Вариант 13. 28

Вариант 14. 29

Вариант 15. 30

Вариант 16. 31

Вариант 17. 32

Вариант 18. 33

Вариант 19. 34

ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры.. 41

Вопросы для самоподготовки. 41

Вариант 1. 42

Вариант 2. 43

Вариант 3. 44

Вариант 4. 45

Вариант 5. 46

Вариант 6. 47

Вариант 7. 48

Вариант 8. 49

Вариант 9. 50

Вариант 10. 51

Вариант 11. 52

Вариант 12. 53

Вариант 13. 54

Вариант 14. 55

Вариант 15. 56

Вариант 16. 57

Вариант 17. 58

Вариант 18. 59

Вариант 19. 60

Вариант 20. 61

Вариант 21. 62

Вариант 22. 63

Вариант 23. 64

Вариант 24. 65

Вариант 25. 66

Ответы к теме 2. 67

ТЕМА 3. Аналитическая геометрия. 73

Вопросы для самоподготовки. 73

Вариант 1. 74

Вариант 2. 75

Вариант 3. 76

Вариант 4. 77

Вариант 5. 78

Вариант 6. 79

Вариант 7. 80

Вариант 8. 81

Вариант 9. 82

Вариант 10. 83

Вариант 11. 84

Вариант 12. 85

Вариант 13. 86

Вариант 14. 87

Вариант 15. 88

Вариант 16. 89

Вариант 17. 90

Вариант 18. 91

Вариант 19. 92

Вариант 20. 93

Вариант 21. 94

Вариант 22. 95

Вариант23. 96

Вариант 24. 97

Вариант25. 98

Ответы к теме 3. 99

ТЕМА 4. Кривые второго порядка. 104

Вопросы для самоподготовки. 104

Вариант 1. 105

Вариант 2. 106

Вариант 3. 107

Вариант 4. 108

Вариант 5. 109

Вариант 6. 110

Вариант 7. 111

Вариант 8. 112

Вариант 9. 113

Вариант 10. 114

Вариант 11. 115

Вариант 12. 116

Вариант 13. 117

Вариант 14. 118

Вариант 15. 119

Вариант 16. 120

Вариант 17. 121

Вариант 18. 122

Вариант 19. 123

Вариант 20. 124

Вариант 21. 125

Вариант 22. 126

Вариант 23. 127

Вариант 24. 128

Вариант 25. 129

Ответы к теме 4. 130

ТЕМА 5. Векторное пространство и линейный оператор. 137

Вопросы для самоподготовки. 137

Вариант 1. 138

Вариант 2. 139

Вариант 3. 140

Вариант 4. 141

Вариант 5. 142

Вариант 6. 143

Вариант 7. 144

Вариант 8. 145

Вариант 9. 146

Вариант 10. 147

Вариант 11. 148

Вариант 12. 149

Вариант 13. 150

Вариант 14. 151

Вариант 15. 152

Вариант 16. 153

Вариант 17. 154

Вариант 18. 155

Вариант 19. 156

Вариант 20. 157

Вариант 21. 158

Вариант 22. 159

Вариант 23. 160

Вариант 24. 161

Вариант 25. 162

ТЕМА 6. Элементы математического анализа: предел и непрерывность функции одной переменной 163

Вопросы для самоподготовки. 163

Вариант 1. 165

Вариант 2. 166

Вариант 3. 167

Вариант 4. 168

Вариант 5. 169

Вариант 6. 170

Вариант 7. 171

Вариант 8. 172

Вариант 9. 173

Вариант 10. 174

Вариант 11. 175

Вариант 12. 176

Вариант 13. 177

Вариант 14. 178

Вариант 15. 179

Вариант 16. 180

Вариант 17. 181

Вариант 18. 182

Вариант 19. 183

Вариант 20. 184

Вариант 21. 185

Вариант 22. 186

Вариант 23. 187

Вариант 24. 188

Вариант 25. 189

Ответы к теме 6. 190

ТЕМА 7. Элементы математического анализа: производная функции одной переменной 197

Вопросы для самоподготовки. 197

Вариант 1. 199

Вариант 2. 200

Вариант 3. 201

Вариант 4. 202

Вариант 5. 203

Вариант 6. 204

Вариант 7. 205

Вариант 8. 206

Вариант 9. 207

Вариант 10. 208

Вариант 11. 209

Вариант 12. 210

Вариант 13. 211

Вариант 14. 212

Вариант 15. 213

Вариант 16. 214

Вариант 17. 215

Вариант 18. 216

Вариант 19. 217

Вариант 20. 218

Вариант 21. 219

Вариант 22. 220

Вариант 23. 221

Вариант 24. 222

Вариант 25. 223

Ответы к теме 7: 224

ТЕМА 8. Применение производной к исследованию функций и построение графиков 227

Вопросы для самоподготовки. 227

Вариант 1. 229

Вариант 2. 230

Вариант 3. 231

Вариант 4. 232

Вариант 5. 233

Вариант 6. 234

Вариант 7. 235

Вариант 8. 236

Вариант 9. 237

Вариант 10. 238

Вариант 11. 239

Вариант 12. 240

Вариант 13. 241

Вариант 14. 242

Вариант 15. 243

Вариант 16. 244

Вариант 17. 245

Вариант 18. 246

Вариант 19. 247

Вариант 20. 248

Вариант 21. 249

Вариант 22. 250

Вариант 23. 251

Вариант 24. 252

Вариант 25. 253

ТЕМА 9. Неопределенный, определенный и несобственный интегралы 254

Вопросы для самоподготовки. 254

Вариант 1. 256

Вариант 2. 257

Вариант 3. 258

Вариант 4. 259

Вариант 5. 260

Вариант 6. 261

Вариант 7. 262

Вариант 8. 263

Вариант 9. 264

Вариант 10. 265

Вариант 11. 266

Вариант 12. 267

Вариант 13. 268

Вариант 14. 269

Вариант 15. 270

Вариант 16. 271

Вариант 17. 272

Вариант 18. 273

Вариант 19. 274

Вариант 20. 275

Вариант 21. 276

Вариант 22. 277

Вариант 23. 278

Вариант 24. 279

Вариант 25. 280

ТЕМА 10. Приложения определенного интеграла. 281

Вопросы для самоподготовки. 281

Вариант 1. 282

Вариант 2. 283

Вариант 3. 284

Вариант 4. 285

Вариант 5. 286

Вариант 6. 287

Вариант 7. 288

Вариант 8. 289

Вариант 9. 290

Вариант 10. 291

Вариант 11. 292

Вариант 12. 293

Вариант 13. 294

Вариант 14. 295

Вариант 15. 296

Вариант 16. 297

Вариант 17. 298

Вариант 18. 299

Вариант 19. 300

Вариант 20. 301

Вариант 21. 302

Вариант 22. 303

Вариант 23. 304

Вариант 24. 305

Вариант 25. 306

Список литературы.. 307

ТЕМА 1. Элементы линейной алгебры: матрицы, определители матриц. Системы линейных алгебраических уравнений

Вопросы для самоподготовки:

1. Дайте определение матрицы. Как определить размер матрицы, элемент матрицы? Приведите примеры.

2. Частные виды матриц (их названия, примеры).

3. Линейные операции над матрицами: сложение и вычитание матриц.

4. Линейные операции над матрицами: умножение матрицы на число.

5. Нелинейные операции над матрицами: умножение матриц, правило, пример. Всегда ли определена операция умножения матриц?, укажите исключения, приведите примеры.

6. Что называется определителя 2-го и 3-го порядка, приведите примеры

7. Каковы основные свойства определителей. Докажите одно из них.

8. Какие способы вычисления определителей произвольного порядка Вы знаете?

9. Систематизируйте все случаи, в которых определитель равен нулю.

10. Что называется минором элемента матрицы, его алгебраическим дополнением?

11. Дайте определение ранга матрицы.

12. Какие преобразования над матрицами называются элементарными? Перечислите их, приведите примеры и сформулируйте правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

13. Какая матрица называется обратной для данной матрицы А? Всякая ли матрица имеет обратную?

14. Как найти обратную матрицу? Как проверить, что она найдена верно?

15. Какие виды систем линейных уравнений Вы знаете? (Что значит однородная, неоднородная система; какие системы совместные, несовместные; определенные, неопределенные?)

16. Сформулируйте необходимое и достаточное условие совместности СЛАУ.

17. При каком условии СЛАУ имеет единственное решение?

18. Как определить, что система несовместна?

19. Однородные СЛАУ могут быть несовместными? Почему?

20. При каком условии однородная СЛАУ имеет только нулевое решение?

21. Что Вы можете сказать о количестве решений однородной СЛАУ, если определитель матрицы этой системы равен нулю?

22. Запишите формулы Крамера. Каковы условия их применения.

23. Какие системы можно решать матричным методом? Запишите соответствующую формулу.

24. В чем заключается сущность метода Гаусса?

Вариант 1

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка:

Ответ: 1.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (1; 2; -2).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ;

б) .

Вариант 2

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка:

.

Ответ: -2.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (2; 3; 5).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ;

б)

Вариант 3

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -3.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (4; 3; -7).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) нет решений; б) .

Вариант 4

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 27.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (1; -2; 3).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ; б) .

Вариант 5

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -5.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (-2; 2; 1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ;

б) .

Вариант 6

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 46.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (-2; 2; 1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ;

б) .

Вариант 7

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -28.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (3; 2; 1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ;

б) .

Вариант 8

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 68.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (1; 1; 1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) (3; -2; 0; 1); б)

.

Вариант 9

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -19.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (1; 1; -1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ;

б) .

Вариант 10

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -60.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (-3; 2; 1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) б)

Вариант 11

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: 34.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (1; 1; 1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.

а) б)

Ответ: а) ;

б)

Вариант 12

Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.

.

Ответ: -12.

Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.

, если

Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

- по формулам Крамера,

- матричным методом (с помощью обратной матрицы),

- методом Гаусса.

Ответ: (2; -1; 1).

Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.