![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Г.И. Носова»
Кафедра математики
Вахрушева И.А.
Гугина Е.М.
Захаркина Е.И.
Максименко И.А.
СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Для студентов технических специальностей
Часть 1
Магнитогорск, 2012
Составители:
Вахрушева И.А., Гугина Е.М., Грачева Л.А., Захаркина Е.И., Максименко И.А.
Сборник индивидуальных заданий по математике для студентов технических специальностей. Част 1. – Магнитогорск, 2012. – 309 с.
Рецензенты: к. ф.-м. н., доцент каф мат. анализа МаГУ Шеметова В.В.,
к. ф.-м. н., доцент каф математики МГТУ Изосова Л.А.
В сборник индивидуальных заданий вошли варианты типовых расчетов и ИДЗ (вопросы для теоретической подготовки и ответы), а также контрольных работ, предлагаемых студентам 1 курса технических специальностей на первом курсе по темам:
- элементы линейной алгебры (матрицы, СЛАУ),
- элементы векторной алгебры и аналитической геометрии,
- векторное пространство и линейный оператор,
- кривые второго порядка,
- элементы математического анализа (предел функции, производная функции одной переменной),
- применение производной к исследованию функции и построению графиков,
- неопределенный, определенный и несобственный интегралы и их приложения.
© Вахрушева И.А., Гугина Е.М., Грачева Л.А.,
Захаркина Е.И., Максименко И.А.,
Магнитогорск, 2012
Оглавление
ТЕМА 1. Элементы линейной алгебры: матрицы, определители матриц. Системы линейных алгебраических уравнений. 14
Вопросы для самоподготовки: 14
Вариант 1. 16
Вариант 2. 17
Вариант 3. 18
Вариант 4. 19
Вариант 5. 20
Вариант 6. 21
Вариант 7. 22
Вариант 8. 23
Вариант 9. 24
Вариант 10. 25
Вариант 11. 26
Вариант 12. 27
Вариант 13. 28
Вариант 14. 29
Вариант 15. 30
Вариант 16. 31
Вариант 17. 32
Вариант 18. 33
Вариант 19. 34
ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры.. 41
Вопросы для самоподготовки. 41
Вариант 1. 42
Вариант 2. 43
Вариант 3. 44
Вариант 4. 45
Вариант 5. 46
Вариант 6. 47
Вариант 7. 48
Вариант 8. 49
Вариант 9. 50
Вариант 10. 51
Вариант 11. 52
Вариант 12. 53
Вариант 13. 54
Вариант 14. 55
Вариант 15. 56
Вариант 16. 57
Вариант 17. 58
Вариант 18. 59
Вариант 19. 60
Вариант 20. 61
Вариант 21. 62
Вариант 22. 63
Вариант 23. 64
Вариант 24. 65
Вариант 25. 66
Ответы к теме 2. 67
ТЕМА 3. Аналитическая геометрия. 73
Вопросы для самоподготовки. 73
Вариант 1. 74
Вариант 2. 75
Вариант 3. 76
Вариант 4. 77
Вариант 5. 78
Вариант 6. 79
Вариант 7. 80
Вариант 8. 81
Вариант 9. 82
Вариант 10. 83
Вариант 11. 84
Вариант 12. 85
Вариант 13. 86
Вариант 14. 87
Вариант 15. 88
Вариант 16. 89
Вариант 17. 90
Вариант 18. 91
Вариант 19. 92
Вариант 20. 93
Вариант 21. 94
Вариант 22. 95
Вариант23. 96
Вариант 24. 97
Вариант25. 98
Ответы к теме 3. 99
ТЕМА 4. Кривые второго порядка. 104
Вопросы для самоподготовки. 104
Вариант 1. 105
Вариант 2. 106
Вариант 3. 107
Вариант 4. 108
Вариант 5. 109
Вариант 6. 110
Вариант 7. 111
Вариант 8. 112
Вариант 9. 113
Вариант 10. 114
Вариант 11. 115
Вариант 12. 116
Вариант 13. 117
Вариант 14. 118
Вариант 15. 119
Вариант 16. 120
Вариант 17. 121
Вариант 18. 122
Вариант 19. 123
Вариант 20. 124
Вариант 21. 125
Вариант 22. 126
Вариант 23. 127
Вариант 24. 128
Вариант 25. 129
Ответы к теме 4. 130
ТЕМА 5. Векторное пространство и линейный оператор. 137
Вопросы для самоподготовки. 137
Вариант 1. 138
Вариант 2. 139
Вариант 3. 140
Вариант 4. 141
Вариант 5. 142
Вариант 6. 143
Вариант 7. 144
Вариант 8. 145
Вариант 9. 146
Вариант 10. 147
Вариант 11. 148
Вариант 12. 149
Вариант 13. 150
Вариант 14. 151
Вариант 15. 152
Вариант 16. 153
Вариант 17. 154
Вариант 18. 155
Вариант 19. 156
Вариант 20. 157
Вариант 21. 158
Вариант 22. 159
Вариант 23. 160
Вариант 24. 161
Вариант 25. 162
ТЕМА 6. Элементы математического анализа: предел и непрерывность функции одной переменной 163
Вопросы для самоподготовки. 163
Вариант 1. 165
Вариант 2. 166
Вариант 3. 167
Вариант 4. 168
Вариант 5. 169
Вариант 6. 170
Вариант 7. 171
Вариант 8. 172
Вариант 9. 173
Вариант 10. 174
Вариант 11. 175
Вариант 12. 176
Вариант 13. 177
Вариант 14. 178
Вариант 15. 179
Вариант 16. 180
Вариант 17. 181
Вариант 18. 182
Вариант 19. 183
Вариант 20. 184
Вариант 21. 185
Вариант 22. 186
Вариант 23. 187
Вариант 24. 188
Вариант 25. 189
Ответы к теме 6. 190
ТЕМА 7. Элементы математического анализа: производная функции одной переменной 197
Вопросы для самоподготовки. 197
Вариант 1. 199
Вариант 2. 200
Вариант 3. 201
Вариант 4. 202
Вариант 5. 203
Вариант 6. 204
Вариант 7. 205
Вариант 8. 206
Вариант 9. 207
Вариант 10. 208
Вариант 11. 209
Вариант 12. 210
Вариант 13. 211
Вариант 14. 212
Вариант 15. 213
Вариант 16. 214
Вариант 17. 215
Вариант 18. 216
Вариант 19. 217
Вариант 20. 218
Вариант 21. 219
Вариант 22. 220
Вариант 23. 221
Вариант 24. 222
Вариант 25. 223
Ответы к теме 7: 224
ТЕМА 8. Применение производной к исследованию функций и построение графиков 227
Вопросы для самоподготовки. 227
Вариант 1. 229
Вариант 2. 230
Вариант 3. 231
Вариант 4. 232
Вариант 5. 233
Вариант 6. 234
Вариант 7. 235
Вариант 8. 236
Вариант 9. 237
Вариант 10. 238
Вариант 11. 239
Вариант 12. 240
Вариант 13. 241
Вариант 14. 242
Вариант 15. 243
Вариант 16. 244
Вариант 17. 245
Вариант 18. 246
Вариант 19. 247
Вариант 20. 248
Вариант 21. 249
Вариант 22. 250
Вариант 23. 251
Вариант 24. 252
Вариант 25. 253
ТЕМА 9. Неопределенный, определенный и несобственный интегралы 254
Вопросы для самоподготовки. 254
Вариант 1. 256
Вариант 2. 257
Вариант 3. 258
Вариант 4. 259
Вариант 5. 260
Вариант 6. 261
Вариант 7. 262
Вариант 8. 263
Вариант 9. 264
Вариант 10. 265
Вариант 11. 266
Вариант 12. 267
Вариант 13. 268
Вариант 14. 269
Вариант 15. 270
Вариант 16. 271
Вариант 17. 272
Вариант 18. 273
Вариант 19. 274
Вариант 20. 275
Вариант 21. 276
Вариант 22. 277
Вариант 23. 278
Вариант 24. 279
Вариант 25. 280
ТЕМА 10. Приложения определенного интеграла. 281
Вопросы для самоподготовки. 281
Вариант 1. 282
Вариант 2. 283
Вариант 3. 284
Вариант 4. 285
Вариант 5. 286
Вариант 6. 287
Вариант 7. 288
Вариант 8. 289
Вариант 9. 290
Вариант 10. 291
Вариант 11. 292
Вариант 12. 293
Вариант 13. 294
Вариант 14. 295
Вариант 15. 296
Вариант 16. 297
Вариант 17. 298
Вариант 18. 299
Вариант 19. 300
Вариант 20. 301
Вариант 21. 302
Вариант 22. 303
Вариант 23. 304
Вариант 24. 305
Вариант 25. 306
Список литературы.. 307
ТЕМА 1. Элементы линейной алгебры: матрицы, определители матриц. Системы линейных алгебраических уравнений
Вопросы для самоподготовки:
1. Дайте определение матрицы. Как определить размер матрицы, элемент матрицы? Приведите примеры.
2. Частные виды матриц (их названия, примеры).
3. Линейные операции над матрицами: сложение и вычитание матриц.
4. Линейные операции над матрицами: умножение матрицы на число.
5. Нелинейные операции над матрицами: умножение матриц, правило, пример. Всегда ли определена операция умножения матриц?, укажите исключения, приведите примеры.
6. Что называется определителя 2-го и 3-го порядка, приведите примеры
7. Каковы основные свойства определителей. Докажите одно из них.
8. Какие способы вычисления определителей произвольного порядка Вы знаете?
9. Систематизируйте все случаи, в которых определитель равен нулю.
10. Что называется минором элемента матрицы, его алгебраическим дополнением?
11. Дайте определение ранга матрицы.
12. Какие преобразования над матрицами называются элементарными? Перечислите их, приведите примеры и сформулируйте правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
13. Какая матрица называется обратной для данной матрицы А? Всякая ли матрица имеет обратную?
14. Как найти обратную матрицу? Как проверить, что она найдена верно?
15. Какие виды систем линейных уравнений Вы знаете? (Что значит однородная, неоднородная система; какие системы совместные, несовместные; определенные, неопределенные?)
16. Сформулируйте необходимое и достаточное условие совместности СЛАУ.
17. При каком условии СЛАУ имеет единственное решение?
18. Как определить, что система несовместна?
19. Однородные СЛАУ могут быть несовместными? Почему?
20. При каком условии однородная СЛАУ имеет только нулевое решение?
21. Что Вы можете сказать о количестве решений однородной СЛАУ, если определитель матрицы этой системы равен нулю?
22. Запишите формулы Крамера. Каковы условия их применения.
23. Какие системы можно решать матричным методом? Запишите соответствующую формулу.
24. В чем заключается сущность метода Гаусса?
Вариант 1
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка:
Ответ: 1.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (1; 2; -2).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) ;
б) .
Вариант 2
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка:
.
Ответ: -2.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (2; 3; 5).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) ;
б)
Вариант 3
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.
.
Ответ: -3.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (4; 3; -7).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) нет решений; б) .
Вариант 4
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.
.
Ответ: 27.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (1; -2; 3).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) ; б)
.
Вариант 5
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.
.
Ответ: -5.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (-2; 2; 1).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) ;
б) .
Вариант 6
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.
.
Ответ: 46.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (-2; 2; 1).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) ;
б) .
Вариант 7
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.
.
Ответ: -28.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (3; 2; 1).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) ;
б) .
Вариант 8
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.
.
Ответ: 68.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (1; 1; 1).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) (3; -2; 0; 1); б)
.
Вариант 9
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.
.
Ответ: -19.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (1; 1; -1).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) ;
б) .
Вариант 10
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.
.
Ответ: -60.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (-3; 2; 1).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) б)
Вариант 11
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.
.
Ответ: 34.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (1; 1; 1).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
а) б)
Ответ: а) ;
б)
Вариант 12
Задание 1. Вычислить определитель 4-го порядка.
.
Ответ: -12.
Задание 2. Найти матрицу Х. Проверить правильность решения подстановкой найденной матрицы в исходное уравнение.
, если
Задание 3. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
- по формулам Крамера,
- матричным методом (с помощью обратной матрицы),
- методом Гаусса.
Ответ: (2; -1; 1).
Задание 4. Решить системы уравнений методом Гаусса, сделать вывод о совместности. В неопределенных системах найти общее и частное решение и сделать проверку.
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 949 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!