и абсолютно жестких участков

-угловые жесткости упругих шарниров,

-длинаабсолютно жёстких элементов.

Определяем силу Р, которая приводит к потере устойчивости данной системы (при наличии ненулевых U и U )

Запишем соотношения:

; ; ; .

Составим уравнения равновесия относительно 1-го упругого шарнира:

.

Из этого уравнения равновесия можем получить:

.

Составим уравнения равновесия относительно 2-го и 3-го упругих шарниров:

;

. (18.1)

Запишем соотношения:

;

;

; .

Подставим в систему (18.1) все полученные соотношения.

В итоге получим следующую систему уравнений:

;

. (18.2)

и - смещения, которые характеризуют потерю устойчивости.

, - тривиальное решение системы (18.2), но оно нас не устраивает.

Запишем систему (18.2) в следующем виде:

;

.

Решая эту систему, получим

; ;

.

Таким образом, - условие нетривиального решения, при котором .

Главный определитель системы (18.2) будет иметь вид:

(18.3)

Из выражения (18.3) получим квадратное уравнение относительно силы .

Два получаемых корня соответствуют двум формам изгиба рассматриваемой конструкции:

Формы изгиба рассмотренной конструкции:

Р₁

Р₂

Для анализа полученных результатов рассмотрим симметричную конструкцию:

C₄=C₁ C₃=C₂ L₃ =L₁

;

;

(18.4)

Так как ,

тогда согласно выражениям (18.4) получаем:

(18.5)

Рассматривая полученное выражение (18.5), находим 2 корня и :

; .

Р_кр = min(Р₁,Р₂)

Рассмотрим следующие примеры симметричных конструкций:

1)С₁=С₂=С L₁=L₂=L,

тогда

; ; .

Значит

.

2) С₂=0 L₁=L₂ =L,

тогда

; ; .

Значит

.

Рассмотренная методика по расчету дискретных систем позволяет рассчитать величину критической силы для любой многозвенной конструкции, если n>2,где n-количество звеньев. При этом число получаемых уравнений системы и соответственно степень характеристического полинома (соответствует количество корней) будет равно n-2.

Количество корней полинома соответствует количеству форм равновесия. Практическое применение данная методика может иметь при расчёте критической силы прямолинейных стержней.

В этом случае стержень по длине разбивается на n-участков. Переход системы с распределёнными параметрами к дискретной системе проводится следующим образом: по середине каждого участка ставится шарнир с жёсткостью равной жёсткости этого участка.

После этого полагаем участки между шарнирами абсолютно жёсткими. Таким образом, получена дискретная система, которая может решаться по изложенной выше методике, при этом получаем абсолютное решение

Применим методику разбиения стержня на граничные элементы для случая стержня, шарнирно закреплённого на 2-х концах.

P

- точное решение по формуле Эйлера.

Приближенное значение критической силы будем определять для дискретной системы, рассматривающей стержни после её разделения на 2 одинаковых участка.

С₁ С₂ С₂ С₁ Р

L₁ L₂ L₃

L/4 L/2 L/4

С₁=0 С₂=d₂^-1 ; ,

; ; .

; ; ,

.

Относительная погрешность:

.

Анализ показывает, что в решаемых по данной методике задачах относительная погрешность уменьшается приблизительно пропорционально квадрату количества участков, на которые разбит исходный стержень, (пропорционально количеству шарниров).

Список рекомендуемой литературы.

1.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.-М.:Наука,1979.

2.Балабанов И.В., Збруцкий А.В. Методы и программное обеспечение расчета и оптимизации упругих подвесов навигационных датчиков. // 3-я Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. Часть 2. ЦНИИ “Электроприбор”, Май 1996, с. 215-222.

3. Корнілов О.А. Опір матеріалів.-Київ: Логос, 2000.

4. Под редакцией Бутенко Ю.И. Строительная механика.-Киев: Наукова думка, 1989.

Для заметок
Для заметок