Лекция 18

Расчет плоских статически неопределимых систем методом перемещений (МП)

В методе перемещений в качестве неизвестных рассматривается перемещение узлов.

Применяется для расчета систем с прямолинейными участками

Порядок расчета:

1. Расчет степени кинематической неопределимости (рассчитывается степень угловой и линейной подвижности системы n_кин = n_угл + n_лин ).

2. Построение основной системы МП.

Построение основной системы осуществляется путем введения дополнительных связей так, чтобы система была полностью кинематически определена, то есть для основной системы n_кин = 0.

3. Составление канонических уравнений МП (количество уравнений = n_кин).

4. Определение коэффициентов канонических уравнений.

5. Определение неизвестных перемещений (из канонических уравнений).

6. Построение эпюр.

Рассмотрим подробно расчет.

1) рассчитаем степень кинематической неопределимости n_кин = n_угл + n_лин :

n_угл - равно количеству жестких свободных углов.

n_угл =2

Для расчета степени линейной подвижности n_лин необходимо построить соответствующую исходной системе ферму (раму, имеющую во всех узлах шарниры)

n_лин=2У-С-C₀ = 1

Степень линейной подвижности равна количеству степеней свободы этой фермы:

У = 4; С = 3; C₀=4;

2) построим основную систему МП:

Плавающая заделка ограничивает угловые перемещения. Таким образом, вводим 2-е плавающие заделки и ограничиваем угловые перемещения (q1,q2), также вводим 1-у шарнирно-подвижную опору для ограничения линейного перемещения (q3).

3) составим канонические уравнения МП:

і-е каноническое уравнение описывает следующий физический факт: полная реакция в і-й дополнительной связи, обусловленная суммой различных факторов, должна быть равна 0.

Реакция в 1-й плавающей заделке обусловлена: действием внешних сил , а также угловыми перемещениями q1 и q2, и линейным перемещением q3;

Например, - реакция в 1-й плавающей заделке, обусловленная перемещением q2.

4) определим коэффициенты канонических уравнений:

- реакция в і-й дополнительной связи, обусловленная единичным перемещением в направлении j-й дополнительной связи;

реакция в і-й дополнительной связи, обусловленная действием внешних сил.

Пример: расчет статически неопределимой системы методом перемещений.

1) Проводим расчет степени кинематической неопределимости:

n_угл =1,

n_лин =2У-С-C₀ = 0

У = 3; С = 2; C₀=4;

n_кин = n_угл + n_лин =1.

2) Строим основную систему МП:

3) Запишем канонические уравнения:

4) Проведем расчет коэффициентов канонических уравнений:

Реакции находим методом сил.

В связи с тем, что рассматриваемая конструкция предполагается системой с преобладающим изгибом, то система будет только дважды статически неопределимой. Следовательно учитываем 2-е реакции в опоре В: , .

Теперь определим величину :

.

Имеем дважды статически неопределимую систему, которую будем решать методом сил.

;

;

Таким образом, в результате получим :

.

5) определим неизвестные перемещения:

Значит, теперь согласно каноническим уравнениям можем получить искомое перемещение :

.

6) рассмотрим порядок построение эпюр изгибных моментов:

Общая эпюра моментов равна сумме моментов, обусловленных перемещением узлов , а также действием внешних сил :

.

При этом моменты, обусловленные перемещением узлов , вычисляются следующим образом:

определяются моменты , обусловленные соответствующими единичными перемещениями узлов, ;

определяются моменты , обусловленные истинными перемещениями узлов,

.

Лекция 19