Устойчивость упругих систем

В этом разделе изучается устойчивость стержней (такая устойчивость называется устойчивостью по Эйлеру). Как правило, при потере устойчивости упругие конструкции теряют работоспособность. При отсутствии сжимающей силы Р малая поперечная сила Q вызывает малый прогиб в стержне L. Если сила Р будет небольшой, то положение останется прежним и равновесие стержня сохранится устойчивым. Однако, если сила Р превышает некоторое критическое значение Р > P_КР, то равновесие стержня становится неустойчивым, а это значит, что сколь угодно малое возмущение в поперечном направлении (например, поперечная сила ) достаточно, чтобы возникли сколь угодно большие прогибы.

Определение статической устойчивости - равновесие стержня устойчиво, если задавшись любой величиной η > 0, всегда можно указать такую конечную величину ε > 0, что при поперечной силе |Q| < ε величина прогиба ни в одной точке не достигнет величины η, т.е. |U| < η. Где U – это величина прогиба.

В качестве возмущающего воздействия может выступать не только поперечная сила, но и распределенная нагрузка, а также температурные деформации.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси:

;

; ; ;

L

; ;
Общее решение: ;

Коэффициенты А₁ и А₂ находим с помощью краевых условий.

Краевые условия:

; ;

Случай (тривиальное решение) А₁=0, А₂=0 соответствует прямолинейному стержню.

Второе решение А₁=0, . Так как , ; то .

Значит, окончательно при k=1, получаем формулу Эйлера

.

Таким образом, имеем следующие формы изгиба:

k=0; ; k=1; ;

k=2 k=3

Критической силой будем называть наименьшую из сил, при которой происходит потеря устойчивости стержня.

.