Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений

Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными вида:

(3.10)

Пусть известно некоторое приближение , корня , . Тогда поправки , можно найти, решая систему:

(3.11)

Для этого разложим функции , в ряд Тейлора по , . Сохранив только линейные по , части, получим систему линейных уравнений

(3.12)

относительно неизвестных поправок , и . Решая эту систему линейных уравнений, определяем значения , .

Таким образом, решение системы уравнений по методу Ньютона состоит в построении итерационной последовательности:

(3.13)

где , - решения систем линейных уравнений, вида (3.12) на каждом шаге итерации.

В методе Ньютона для обеспечения хорошей сходимости также важен правильный выбор начального приближения.

Пример 3.2. Найти решение системы (3.8) методом Ньютона с точностью .

Решение. Начальные приближения , . Определим частные производные:

;

и, используя (3.12), построим систему линейных уравнений относительно поправок

Подставляя начальные приближения , и решая систему линейных уравнений

,

определяем поправки на первом шаге итерации

,

Далее начальное приближение уточняем по формулам (3.13)

Подставляя результаты первой итерации , и решая систему линейных уравнений

,

определяем поправки на втором шаге итерации

,

Далее и уточняем по формулам (3.13)

Определяем погрешностьпо формуле :

Таким образом, имеем решение: , .

Программа, реализующая метод Ньютона для указанной задачи, представлена на рис. 3.2. Исходные данные – начальные приближения , , точность и максимальное число итераций (табл. 3.2).

Таблица 3.2.

Исходные данные к программе решения системы

нелинейных уравнений

методом Ньютона

	A	B
	x0	-1
	y0	-0,7
	e	0,001
	n
	x	-1,11149
	y	-0,72253

Sub program6() x = Cells(1, 2) y = Cells(2, 2) e = Cells(3, 2) n = Cells(4, 2) For k = 1 To n F = 2 * Sin(x + 1) – y - 0.5 G = 10 * Cos(y - 1) – x + 0.4 Fx = 2 * Cos(x + 1) Fy = -1 Gx = -1 Gy = -10 * Sin(y - 1) D = Fx * Gy – Gx * Fy Dx = (G * Fy – F * Gy) / D Dy = (F * Gx – G * Fx) / D xk = x + Dx yk = y + Dy If Abs(xk - x) < e And Abs(yk - y) < e Then Cells(5, 2) = xk Cells(6, 2) = yk End End If x = xk y = yk Next k MsgBox "решение не найдено" End End Sub

Рис. 3.2. Программа, реализующая метод Ньютона на языке VBA.

Пример 3.3. Найти решение системы (3.8) с помощью программы Excel.