![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение необходимо привести к виду
.
В качестве можно принять функцию
, где M ‑ неизвестная постоянная величина, которая определяется из условия сходимости метода простой итерации
. При этом для определения M условие сходимости записывается в следующем виде:
или
. (1.5)
Если известно начальное приближение корня , подставляя это значение в правую часть уравнения
, получаем новое приближение
.
Далее подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение , получаем последовательность значений:
,
,...,
, k = 1,2,...,n.
Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т.е. .
Геометрическая интерпретация метода простой итерации. Построим графики функций и
. Корнем
уравнения
является абсцисса пересечения кривой
с прямой
(рис. 1.9). Взяв в качестве начальной точки
, строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня
. Из рисунка видно, что если
на отрезке
(рис. 1.9а), то последовательные приближения
колеблются около корня. Если же производная
(рис. 1.9б), то последовательные приближения сходятся монотонно.
![]() | ![]() |
а) | б) |
Рис. 1.9. Геометрическая интерпретация метода простой итерации. |
Пример 1.4. Решить уравнение на отрезке
методом простой итерации c точностью
.
Решение. Из условия сходимости (1.5) , при
определяем
.Пусть
.
Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение
,
получаем последовательность значений:
, но
, поэтому продолжаем вычисления.
Теперь и приближенным решением данного уравнения c точностью
является
.
На рис.1.10 приведена программа решения данного уравнения методом простой итерации. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение, точность вычисления и значение постоянной М.
Исходные данные | Результаты | ||||
A | B | C | D | E | |
x0 | e | M | x | F(x) | |
0,001 | 0,683335 | 0,002416 |
Function F(x) F = x ^ 3 + x - 1 End Function Sub program3() x = Cells(2, 1) e = Cells(2, 2) M = Cells(2, 3) 1 xk = x - F(x) / M If Abs(xk - x) >= e Then x = xk: GoTo 1 Cells(2, 4) = xk Cells(2, 5) = F(xk) End Sub |
Рис. 1.10. Программа решения уравнения методом простой итерации на языке VBA. |
Пример 1.4. Решить уравнение на отрезке
методом простой итерации c точностью
с помощью программы Excel.
Порядок решения (рис. 1.11).
1) Ввести в ячейки A1:D1 заголовки столбцов.
2) В ячейку A2 – значение начального приближения
3) В ячейку B3 – формулу функции =A2^3+A2-1
4) В ячейку C2 – значение M 5
5) В ячейку A3 – формулу первого приближения =A2-B3/$C$2
6) В ячейку D3 – погрешность =ABS(A3-A2)
7) Выделить ячейки A3:D3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:D4, A5:D5, и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения.
8) В столбце A найти значение корня, соответствующее заданной точности.
Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке A9 (погрешность
в ячейке D9).
A | B | C | D | |
x | f(x) | M | погрешность | |
0,8 | 0,2 | |||
0,7376 | 0,312 | 0,0624 | ||
0,70982 | 0,13889 | 0,02777881 | ||
0,69633 | 0,06746 | 0,01349237 | ||
0,68954 | 0,03396 | 0,00679209 | ||
0,68606 | 0,01738 | 0,0034769 | ||
0,68427 | 0,00897 | 0,00179463 | ||
Рис.1.11. Решение уравнения методом простой итерации с помощью программы Excel. |
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 1209 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!