Метод простой итерации (метод Якоби)

Суть вычислений итерационными методами состоит в следующем: расчет начинается с некоторого заранее выбранного приближения (начального приближения). Вычислительный процесс, использующий матрицу , вектор системы (2.1) и , приводит к новому вектору :

, (2.11)

Затем процесс повторяется, только вместо используется новое значение . На -м шаге итерационного процесса получают:

, (2.12)

При выполнении некоторых заранее оговоренных условий процесс сходится при . Сходимость метода простой итерации обеспечивается при выполнении условия преобладания диагональных элементов матрицы A:

, (2.13)

Заданная точность достигается при выполнении условия:

(2.14)

Пример 2.5. Преобразовать систему уравнений:

(2.15)

к виду, пригодному для построения итерационного процесса методом Якоби и выполнить три итерации.

Решение. Достаточное условие сходимости (2.13) выполняется, поэтому начальное приближение может быть любым.

В -ом уравнении все члены, кроме , переносятся в правую часть:

(2.16)

Задается начальное приближение , которое подставляется в правую часть (2.16). Если , , ,то результаты первой итерации:

Результаты первой итерации подставляют в правую часть (2.16) и получают результаты второй итерации:

Результаты второй итерации подставляют в правую часть (2.16) и получают результаты третьей итерации:

Определяют достигнутую точность

		A	B	C
		x1	x2	x3
		0,00	0,00	0,00
		1,00	-0,33	1,00
		1,33	-1,17	1,33
		1,86	-1,44	1,63
		2,06	-1,76	1,83
		2,27	-1,93	1,96
	…	…	…	…
		2,66	-2,34	2,25
		2,66	-2,35	2,25
		2,66	-2,35	2,25
Рис. 2.4. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби с помощью программы Excel

Пример 2.6. Решить систему уравнений методом Якоби с помощью программы Excel с точностью :