Метод Ньютона (метод касательных)

Суть метода состоит в том, что на -й итерации в точке строится касательная к кривой и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 1.6). Если задан интервал изоляции корня , то за начальное приближение принимается тот конец отрезка, на котором

. (1.1)

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке с координатами и , имеет вид:

(1.2)

Рис. 1.6. Метод касательных.

За следующее приближение корня примем абсциссу точки пересечения касательной с ocью OX. Из (1.2) при , получим

(1.3)

При этом необходимо, чтобы .

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках , и т.д. Формула для -го приближения имеет вид:

(1.4)

Для завершения итерационного процесса можно использовать условия или .

Объем вычислений в методе Ньютона больше, чем в других методах, поскольку приходится находить значение не только функции , но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше.

Пример 1.2. Решить уравнение на отрезке методом Ньютона c точностью .

Решение. Определим производные заданной функции : ; . Проверим выполнение условия сходимости на концах заданного интервала: - не выполняется, - выполняется. За начальное приближение корня можно принять .

Находим первое приближение:

.

Аналогично находится второе приближение:

.

Третье приближение:

.

Так как , итерационный процесс заканчивается. Таким образом, приближенным решением данного уравнения является .

На рис. 1.7 приведена программа решения данного уравнения методом Ньютона. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение и точность вычисления.

	Исходные данные	Результаты
	A	B	C	D
	x0	e	x	F(x)
		0,001	0,682328	2,84E-10

Function F(x) F = x ^ 3 + x - 1 End Function Function F1(x) F1 = 3 * x ^ 2 + 1 End Function Sub program2() x = Cells(2, 1) e = Cells(2, 2) 1 xk = x - F(x) / F1(x) If Abs(xk - x) >= e Then x = xk: GoTo 1 Cells(2, 3) = xk Cells(2, 4) = F(xk) End Sub

Рис. 1.7. Программа нахождения корней методом Ньютона на языке VBA.

Пример 1.3. Решить уравнение на отрезке методом Ньютона c точностью с помощью программы Excel.

Порядок решения (рис. 1.8).

1) Ввести в ячейки A1:D1 заголовки столбцов.

2) В ячейку A2 – значение начального приближения

3) В ячейку B3 – формулу функции =A2^3+A2-1

4) В ячейку C3 – формулу производной функции =3*A2^2+1

5) В ячейку A3 – формулу первого приближения =A2-B3/C3

6) В ячейку D3 – погрешность =ABS(A3-A2)

7) Выделить ячейки A3:D3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:D4, A5:D5, и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения.

8) В столбце A найти значение корня, соответствующее заданной точности.

Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке A6 (погрешность в ячейке D6).

	A	B	C	D
	x	F(x)	F'(x)	погрешность
	1,00000
	0,75000	1,00000	4,00000	0,25000
	0,68605	0,17188	2,68750	0,06395
	0,68234	0,00894	2,41198	0,00371
	0,68233	0,00003	2,39676	0,00001
Рис. 1.8. Решение уравнения методом Ньютона с помощью программы Excel.