![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Суть метода состоит в том, что на -й итерации в точке
строится касательная к кривой
и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 1.6). Если задан интервал изоляции корня
, то за начальное приближение
принимается тот конец отрезка, на котором
. (1.1)
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке
с координатами
и
, имеет вид:
(1.2)
![]() |
Рис. 1.6. Метод касательных. |
За следующее приближение корня примем абсциссу точки пересечения касательной с ocью OX. Из (1.2) при
,
получим
(1.3)
При этом необходимо, чтобы .
Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках ,
и т.д. Формула для
-го приближения имеет вид:
(1.4)
Для завершения итерационного процесса можно использовать условия или
.
Объем вычислений в методе Ньютона больше, чем в других методах, поскольку приходится находить значение не только функции , но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше.
Пример 1.2. Решить уравнение на отрезке
методом Ньютона c точностью
.
Решение. Определим производные заданной функции :
;
. Проверим выполнение условия сходимости на концах заданного интервала:
- не выполняется,
- выполняется. За начальное приближение корня можно принять
.
Находим первое приближение:
.
Аналогично находится второе приближение:
.
Третье приближение:
.
Так как , итерационный процесс заканчивается. Таким образом, приближенным решением данного уравнения является
.
На рис. 1.7 приведена программа решения данного уравнения методом Ньютона. В качестве исходных данных вводятся начальное приближение и точность вычисления.
Исходные данные | Результаты | |||
A | B | C | D | |
x0 | e | x | F(x) | |
0,001 | 0,682328 | 2,84E-10 |
Function F(x) F = x ^ 3 + x - 1 End Function Function F1(x) F1 = 3 * x ^ 2 + 1 End Function Sub program2() x = Cells(2, 1) e = Cells(2, 2) 1 xk = x - F(x) / F1(x) If Abs(xk - x) >= e Then x = xk: GoTo 1 Cells(2, 3) = xk Cells(2, 4) = F(xk) End Sub |
Рис. 1.7. Программа нахождения корней методом Ньютона на языке VBA. |
Пример 1.3. Решить уравнение на отрезке
методом Ньютона c точностью
с помощью программы Excel.
Порядок решения (рис. 1.8).
1) Ввести в ячейки A1:D1 заголовки столбцов.
2) В ячейку A2 – значение начального приближения
3) В ячейку B3 – формулу функции =A2^3+A2-1
4) В ячейку C3 – формулу производной функции =3*A2^2+1
5) В ячейку A3 – формулу первого приближения =A2-B3/C3
6) В ячейку D3 – погрешность =ABS(A3-A2)
7) Выделить ячейки A3:D3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:D4, A5:D5, и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения.
8) В столбце A найти значение корня, соответствующее заданной точности.
Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке A6 (погрешность
в ячейке D6).
A | B | C | D | |
x | F(x) | F'(x) | погрешность | |
1,00000 | ||||
0,75000 | 1,00000 | 4,00000 | 0,25000 | |
0,68605 | 0,17188 | 2,68750 | 0,06395 | |
0,68234 | 0,00894 | 2,41198 | 0,00371 | |
0,68233 | 0,00003 | 2,39676 | 0,00001 | |
Рис. 1.8. Решение уравнения методом Ньютона с помощью программы Excel. |
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 623 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!