Решение. Итак, параметрические уравнения решения имеют вид

Итак, параметрические уравнения решения имеют вид

Как и уравнение, разрешенное относительно производной, уравнение (1.18) может иметь особые решения, то есть решения, целиком состоящие из особых точек (точек неединственности). Особые решения, если они имеются, удовлетворяют системе уравнений

(1.19)

Для каждой функции , удовлетворяющей системе (1.19), необходимо проверить, что она в самом деле является решением уравнения (1.18) и является особым решением, то есть в каждой точке кривой ее касаются другие интегральные кривые того же уравнения.

Особым решением дифференциального уравнения (1.18) будет являться и огибающая семейства интегральных кривых этого уравнения. Для нахождения огибающей семейства интегральных кривых следует исключить параметр из системы уравнений

(1.20)

и проверить, является ли полученная кривая огибающей, то есть, касаются ли ее в каждой точке кривые данного семейства.

Пример 4. Решить уравнение . Найти его особые решения (если они есть).

Решение. Положив , получим . То есть или . Поэтому решениями исходного уравнения являются функции

и

Исключая параметр , имеем .

Найдем теперь решения, "подозрительные" на особые. Система (1.19) в данном случае принимает вид

Исключая из нее , найдем: . Проверим, является ли решение особым, то есть проверим касаются ли его кривые семейства решений . Условия касания кривых и в точке с абсциссой выглядят так: . В данном случае они примут вид

Исключая из этой системы, получаем . Это равенство справедливо при всех . Последнее и означает, что – особое решение.

Заметим, что это же особое решение могло быть найдено из системы (1.20), которая в данном случае имеет вид