Существование и единственность решения задачи Коши. Метод последовательных приближений

Укажем условия существования и единственности решения задачи Коши (1.2) – (1.3).

Теорема Пикара-Линделефа. Пусть функция непрерывна на множестве и удовлетворяет условию Липшица по равномерно относительно , то есть существует такая постоянная , что для и выполнено соотношение

Пусть М является верхней границей для на , а . Тогда задача Коши

имеет на отрезке единственное решение.

Решение задачи Коши при выполнении условий теоремы Пикара-Линделефа может быть найдено как предел при равномерно сходящейся последовательности функций , определяемых рекуррентными соотношениями

(1.21)

Оценка погрешности при замене точного решения -ым приближением может быть выражена неравенством

(1.22)

Заметим, что если функция имеет непрерывную частную производную в области , то значение постоянной Липшица L может быть определено так: .

Пример 1. Найти область, в которой уравнение имеет единственное решение.

Решение. Здесь . Функция определена и непрерывна при . Частная производная непрерывна и ограничена при . Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение в любой полосе

Пример 2. Для задачи Коши указать какой-либо интервал существования решения. Найти это решение методом последовательных приближений, ограничившись приближениями и оценить ошибку третьего приближения.

Решение. Рассмотрим прямоугольник . На множестве . Поэтому интервал существования решения . Значит, решение существует при и на этом же интервале сходятся последовательные приближения. Последовательные приближения найдем по формуле (1.21):

Оценим теперь ошибку третьего приближения, пользуясь формулой (1.22). В качестве значения постоянной L можно взять верхнюю границу для на G: Поэтому .