Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Уравнение

(1.10)

называется уравнением в полных дифференциалах, если – дифференцируемые функции, для которых

, (1.11)

причем производные в (1.11) непрерывны в некоторой области, содержащей точку .

При выполнении условия (1.11) (и только в этом случае) левая часть уравнения (1.10) является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных :

. (1.12)

Поэтому уравнение (1.10) имеет вид и его общий интеграл – .

Функция может быть найдена по формуле

, (1.13)

или непосредственно исходя из справедливости соотношения (1.12).

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Это уравнение в полных дифференциалах, поскольку

Функцию найдем из уравнений

Интегрируя, например, второе из этих уравнений по (считая постоянным), получаем

где – некоторая дифференцируемая функция. Подберем эту функцию так, чтобы выполнялось соотношение Имеем

Итак, и общий интеграл уравнения имеет вид

Если условие (1.11) не выполнено, то уравнение (1.10) не будет уравнением в полных дифференциалах. Можно попытаться найти функцию (интегрирующий множитель) так, чтобы уравнение

стало уравнением в полных дифференциалах. Для этого должно выполняться условие

или

(1.14)

Предположим, что интегрирующий множитель является функцией только переменной Тогда уравнение (1.14) принимает вид

. (1.15)

Если правая часть уравнения в (1.15) есть функция, зависящая только от , то интегрирующий множитель вида существует.

Аналогично получаем, что в случае, когда выражение есть функция, зависящая только от , существует интегрирующий множитель вида , который находится из уравнения

(1.16)

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Представим данное уравнение в виде

(1.17)

Заметим, что

.

Поэтому существует интегрирующий множитель вида , который может быть найден из уравнения (1.16):

В качестве возьмем . Умножая обе части уравнения (1.17) на , получим уравнение в полных дифференциалах

Функцию найдем по формуле (1.13), взяв :

Итак, общий интеграл уравнения имеет вид Заметим, что при делении на потеряны решения исходного уравнения