Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним

Функция называется однородной степени k, если

Однородным называется уравнение, которое может быть приведено в виду , а также уравнение , в котором и – однородные функции одинаковой степени однородности. Чтобы решить однородное уравнение, нужно сделать замену . После такой замены получим уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнение вида приводится к однородному с помощью замены , где и являются решением системы

Если определитель этой системы равен нулю, то уравнение сразу приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой .

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Приведем уравнение к виду

Выполним замену .После преобразований и разделения переменных получим

.

Возвращаясь к исходным переменным, будем иметь . Это общий интеграл исходного уравнения. Заметим, что при разделении переменных могли быть потеряны решения . Непосредственная проверка показывает, что это действительно решения уравнения . Поэтому и – решения исходного уравнения, не входящие в найденный общий интеграл.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Уравнение приводится к однородному заменой , где и являются решением системы

Итак, выполним замену Получим однородное уравнение Полагая в этом уравнении , последовательно получим

Так как обращается в ноль при и , то функции и – решения дифференциального уравнения. Остальные решения уравнения найдем, разделяя переменные

Возвращаясь к исходным переменным, получим

– общий интеграл уравнения.

Функциям и в переменных и соответствуют решения исходного уравнения и . Решение содержится в общем интеграле и получается из него при