Дифференциальные уравнения n-го порядка

Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением -го порядка не разрешенным относительно старшей производной. Если удается разрешить его относительно , то получаем

. (2.1)

Теорема Коши (существования и единственности решения). Пусть функция , рассматриваемая как функция переменной, непрерывна в некоторой области , содержащей точку , вместе со своими частными производными . Тогда существует интервал и определенная на нем n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению (2.1) и начальным условиям

. (2.2)

Функция , обладающая указанными свойствами, единственна.

Определение. Общим решением уравнения (2.1) (удовлетворяющего условиям теоремы Коши) называется функция , зависящая от x и n произвольных постоянных , такая, что

1) для любых значений произвольных постоянных функция есть решение уравнения (2.1);

2) существуют единственные значения такие, что есть решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальному условию (2.2).

Если общее решение в области задано неявно соотношением

,

то оно называется общим интегралом уравнения.

Любое решение, получающееся из общего при конкретных значениях произвольных постоянных , называется частным решением.