Линейные уравнения, уравнения Бернулли и уравнения Риккати

Линейным называется уравнение вида

(1.5)

где и – заданные непрерывные функции. Уравнение вида

(1.6)

называется уравнением Бернулли.

Уравнения (1.5) и (1.6) могут быть проинтегрированы с использованием одного и того же приема (метода Бернулли), который состоит в следующем: решения уравнений предлагается искать в виде произведения двух дифференцируемых функций . Подставляя выражения для и в левые части уравнений (1.5) или (1.6), получим соответственно

(1.7)

В качестве функции возьмем какое-либо решение уравнения Например, Подставив найденное значение в (1.7), получим уравнение для отыскания функции .

Уравнением Риккати называется уравнение вида

(1.8)

где , , – заданные непрерывные функции.

Заметим, что при уравнение (1.8) является уравнением Бернулли.

Если известно частное решение уравнения Риккати, то подстановкой

. (1.9)

где – новая неизвестная функция, уравнение (1.8) приводится к уравнению Бернулли.

Частное решение , как правило, ищется подбором, чтобы будет продемонстрировано в приведенном ниже примере 3.

Пример 1. Найти решение уравнения , которое остается ограниченным при .

Решение. Решение уравнения ищем в виде . Имеем

Пусть – решение уравнения Например, Функцию найдем из уравнения , или . Тогда

Для ограниченного при решения имеем: Тогда Значит, Итак, искомое решение имеет вид

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде Полученное уравнение является уравнением Бернулли, в котором роль независимой переменной играет . Решение этого уравнения будем искать в виде Подставляя в уравнение, получим . Функцию найдем из уравнения Для отыскания функции получим уравнение

Итак, – общее решение уравнения. Заметим, что функция также является решением этого уравнения.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Будем искать частное решение в виде . Подставляя в уравнение, получаем

или .

Полагая , приходим к уравнению Бернулли . Сделав замену , получим . Функцию найдем из уравнения Для отыскания функции получим уравнение

Значит, – общее решение уравнения.