Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид

(1.18)

Для решения уравнения (1.18) желательно разрешить его относительно . При этом может получиться несколько уравнений , разрешенных относительно производной. Если удается найти решения всех этих уравнений, то, объединяя их, получим общее решение уравнения (1.18).

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Представим данное уравнение в виде Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: и Решения первого из них и . Решение второго Окончательно получаем, что общее решение исходного уравнения

Однако уравнение (1.18) не всегда удается разрешить относительно . Часто разрешенное относительно уравнение плохо интегрируется. В некоторых случаях уравнение (1.18) удобнее интегрировать методом введения параметра.

Пусть, например, уравнение (1.18) легко разрешается относительно . Введем параметр . Тогда уравнение примет вид . Дифференцируя обе части последнего равенства по , получим . Если удается разрешить это уравнение относительно , то есть найти , то получим решение исходного уравнения в параметрической форме:

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Введем параметр Тогда

или .

Получаем, что или . Значению соответствует решение .

Итак, решениями исходного уравнения являются и

Пусть уравнение (1.18) может быть разрешено относительно х: . В этом случае уравнение может быть решено с использованием подстановки

Пример 3. Найти общее решение уравнения