Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, приводящиеся к ним

Пусть правая часть уравнения (1.2) может быть представлена в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: , или пусть уравнение (1.1) имеет вид . Тогда переменные в этих уравнения могут быть разделены, и мы получим следующие уравнения с разделенными переменными:

Общие интегралы этих уравнений имеют вид:

Замечание. При делении обеих частей уравнения на могли быть потеряны решения, являющиеся нулями этих функций.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. После разделения переменных получим

. (1.4)

Интегрируя обе части полученного равенства, будем иметь

Здесь – произвольное число. Таким образом, – произвольная постоянная. Потенцируя, можем записать

Найден общий интеграл уравнения.

При разделении переменных могли быть потеряны решения, обращающие в ноль знаменатели дробей в (1.4): Непосредственная подстановка в исходное уравнение показывает, что эти функции являются его решениями. Причем решения вида могут быть получены из общего решения при , а решение должно быть добавлено к общему.

Уравнения вида сводятся к уравнению с разделяющимися переменными заменой .

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Выполним замену . Уравнение примет вид Итак, общий интеграл уравнения имеет вид