Гіпербола

Рівняння гіперболи

.

Рівняння її діаметра, спряженого хордам напрямку ,

; .

Діаметри гіперболи також проходять через її центр.

3. Парабола.

Рівняння параболи

.

Рівняння діаметра: . Отже, всі діаметри параболи паралельні до її осі.

Приклад. Через точку проведено діаметр кривої . Знайти рівняння цього діаметра.

Розв’язання. Згідно з (5) запишемо рівняння діаметра, спряженого хордам напрямку

.

Шуканий діаметр проходить через точку , тому повинна виконуватись рівність

;

.

Отже, напрямок спряжених хорд задається вектором .

Тому шукане рівняння має вигляд:

;

.

§ 10. Взаємно спряжені діаметри ліній 2-го порядку.

Спряжені напрями

Теорема 10.1. Якщо діаметр спряжений хордам, паралельним до діаметра , то діаметр спряжений хордам, паралельним до діаметра .

Доведення. Нехай діаметр спряжений хордам напрямку , діаметр спряжений хордам напрямку . Припустимо, що .

Покажемо, що тоді (рис. 4.43).

Запишемо рівняння кожного з діаметрів:

; ()

. ()

Виділимо в цих рівняннях коефіцієнти при змінних і вільні члени:

; ()

. ()

Напрямними векторами діаметрів і будуть відповідно

,

.

Оскільки за умовою , то . Тому координати цих векторів пропорційні:

; (1)

звідки

;

;

.

Отже, , тому , що й треба було довести.

Теорема 1 дозволяє ввести таке означення:

Означення 10.1. Два діаметри лінії другого порядку називаються взаємно спряженими, якщо кожний з них ділить пополам хорди, паралельні другому.

Щоб побудувати діаметр, спряжений з даним, необхідно провести які-небудь дві хорди, паралельні до даного діаметра, і через їх середини провести пряму. Ця пряма і буде діаметром, взаємно спряженим з даним. Зазначимо, що еліпс і гіпербола мають взаємно спряжені діаметри, а парабола не має, оскільки її діаметр перетинає криву лише в одній точці, і, отже, не можна побудувати паралельних йому хорд (рис. 4.44).

Рис. 4.44

Якщо вектори і задають напрями спряжених діаметрів, то їхні координати задовольняють рівність (1), яку можна записати в такому вигляді:

. (2)

Але якщо координати векторів і задовольняють рівняння (2), то вони не завжди задають напрямки спряжених діаметрів. Дійсно, у параболи, наприклад, не існує взаємно спряжених діаметрів, але існують вектори, які задовольняють рівняння (2).

У теорії кривих 2-го порядку важливе значення має поняття спряжених напрямів.

Означення 10.2. Напрями ненульових векторів , називаються спряженими напрямками відносно кривої 2-го порядку, якщо їх координати задовольняють співвідношення (2).

Запишемо умову (2) для еліпса, гіперболи і параболи, заданих рівняннями в канонічній формі:

1. Еліпс: .

2. Гіпербола: .

3. Парабола: .

4. Коло: .

Звідси випливає, що відносно еліпса і гіперболи кожному напряму відповідає єдиний спряжений, причому ці напрямки збігаються з напрямами спряжених діаметрів (рис. 4.45).

Рис. 4.45

Будь-які перпендикулярні напрями є спряженими відносно кола (рис. 4.46).

Відносно параболи будь-який напрям спряжений з напрямком її осі (рис. 4.47).

Рис. 4.46 Рис. 4.47

Зазначимо також, що асимптотичний напрям спряжений сам собі, тобто, самоспряжений. До цього висновку приходимо, порівнюючи умову (2) з умовою, яка визначає асимптотичні напрями (§ 6):

. (3)

Умова (3) випливає з (2), якщо в останній покласти .

Приклад. Знайти два взаємно спряжені діаметри кривої , з яких один паралельний до осі ординат.

Розв’язання. Якщо діаметр паралельний до осі ординат, то вектор є спряженим напрямом до діаметра . Знайдемо :

;

.

Напрямний вектор цього діаметра . Він є спряженим для діаметра . Тому рівняння :

;

.

Відповідь ; .

§ 11. Головні напрямки відносно кривої 2-го порядку

Означення 11.1. Напрям називається головним відносно даної кривої 2-го порядку, якщо він спряжений з перпендикулярним йому напрямом.

Згідно з цим означенням ненульовий вектор буде задавати головний напрям відносно кривої 2-го порядку тоді і тільки тоді, коли вектор і перпендикулярний йому вектор задаватимуть спряжені напрями відносно даної кривої.

Тому, підставивши координати цих векторів у співвідношення (2), § 10, дістанемо необхідну і достатню умову того, щоб вектор задавав головний напрям:

,

або

. (1)

З цієї рівності можна визначити вектори, які задають головні напрями.

Дослідимо рівність (1). Можливі такі три випадки.

1) . Тоді і , бо в противному випадку мали б , звідки , що неможливо. Тому, поділивши обидві частини рівності (1) на , дістанемо

;

.

Оскільки дискримінант цього квадратного рівняння

,

то в цьому випадку існує два головні напрями відносно даної кривої.

2) . У цьому випадку рівність (1) набуває вигляду

,

звідки випливає існування знову ж 2-х головних напрямів, які задаються векторами .

3) . У цьому випадку будь-який напрям є головним.

Знайдемо головні напрями відносно еліпса, кола, гіперболи і параболи.

1) Еліпс.

Канонічне рівняння: .

Із (1) матимемо: .

Головні напрямки еліпса задаються векторами .

2) Коло.

Рівняння кола: .

Із (1) запишемо: .

Будь-який напрям є головним для кола.

3) Гіпербола.

Рівняння гіперболи: .

Із (1): .

Звідси випливає, що вектори задають головні напрями гіперболи.

4) Парабола.

.

Із (1): .

Отже, вектори задають головні напрями параболи.

Таким чином, головні напрями відносно еліпса і гіперболи напрямлені вздовж їх осей симетрії. Відносно кола будь-який напрям є головним. Головними напрямами відносно параболи є напрям її осі та перпендикулярний йому напрям.

Приклад. Знайти головні напрями кривої

.

Розв’язання. Запишемо рівняння (1) для даної кривої:

,

звідки

;

Отже, головні напрями задаються векторами і .

§ 12. Центр кривої 2-го порядку

Означення 12.1. Центром кривої 2-го порядку називається центр симетрії цієї кривої.

Розглянемо криву 2-го порядку, задану загальним рівнянням

. (1)

Справджується така теорема.

Теорема 12.1. Для того, щоб точка була центром лінії 2-го порядку, заданої рівнянням (1), необхідно і достатньо, щоб її координати задовольняли систему рівнянь

або (2)

Доведення.

1) Необхідність. Нехай – центр кривої (1). Проведемо через точку С дві хорди: напряму та (рис. 4.48).

Тоді точка С буде серединою кожної з цих хорд. Тому вона належить діаметрам, спряженим хордам напряму та . Отже, її координати задовольняють рівняння цих діаметрів, тобто

(3)

Оскільки , то

.

Тому система рівнянь (3) має єдиний нульовий розв’язок відносно і , тобто

2) Достатність. Припустимо, що координати точки С задовольняють систему (2). Покажемо, що точка С є центром кривої (1). З цією метою здійснимо паралельне перенесення системи координат ОXY так, щоб її початком стала точка С. Формули переходу мають вигляд:

(4)

Щоб одержати рівняння кривої в новій системі координат, підставимо (4) в (1):

Оскільки коефіцієнти при , дорівнюють нулю, то остаточно матимемо

. (5)

Звідси випливає, що дана крива симетрична відносно нового початку координат, бо разом з точкою рівняння (5) задовольняє і точка симетрична даній відносно початку координат. Отже, С – центр симетрії даної кривої, що і треба було довести.

Теорему доведено.

Дослідимо тепер систему рівнянь (2)

Нехай ; .

Можливі такі випадки:

1) ­– крива має один центр, оскільки в цьому випадку і, отже, система (2) має єдиний розв’язок.

2) – крива має лінію центрів (пряму), оскільки одне з рівнянь є наслідком другого і його можна відкинути.

3) – крива не має центрів, бо система (2) несумісна.

З цього аналізу випливає, що крива має один центр тоді і тільки тоді, коли

.

Звідси, зокрема, випливає, що еліпс і гіпербола мають центр, а парабола не має.

Приклад. Яким буде рівняння кривої

,

якщо перенести початок координат у її центр?

Розв’язання. Знайдемо центр даної кривої. Для цього запишемо для неї систему рівнянь (2) і розв’яжемо її:

Обчислимо: .

Скористаємось рівнянням (5), матимемо:

.

§ 13. Класифікація ліній 2-го порядку

Розглянемо загальне рівняння кривої другого порядку, заданої в деякій системі координат ОXY:

. (1)

Здійснимо поворот системи координат так, щоб вектор нової системи мав головний напрям відносно даної кривої. Тоді головний напрям матиме і вектор (рис. 4.49).

У новій системі координат рівняння (1) перетвориться до вигляду

. (2)

Оскільки вектор задає головний напрям відносно даної кривої в системі координат , то виконується рівність

,

звідки .

Отже, у новій системі координат рівняння кривої має вигляд:

. (3)

Дослідимо це рівняння. Розглянемо основні випадки:

1)

Виділивши повні квадрати по обох змінних, дістанемо:

,

або

,

де .

Здійснивши паралельне перенесення системи координат за формулами

,

дістанемо

. (4)

Тут можливі такі випадки:

а) . Тоді рівняння (4) зводиться до вигляду

;

або

,

де .

Якщо , то це – еліпс.

Якщо , то це – гіпербола.

Якщо , то це – уявний еліпс.

б) . Тоді рівняння (4) запишеться так:

,

або

,

де .

Якщо , то це – пара прямих , що перетинаються (рис. 4.50). Якщо , то це дві уявні прямі , що перетинаються в дійсній точці .

2) або .

Нехай, наприклад, (одночасно і не можуть дорівнювати нулю, бо тоді дана крива перестає бути лінією 2-го порядку). Рівняння (3) набуває вигляду

.

Виділимо повний квадрат по змінній :

;

,

де .

Здійснивши паралельне перенесення системи координат за формулами

,

матимемо

. (5)

Тут можливі такі випадки:

а) .

Перетворимо рівняння (5):

;

.

Здійснивши ще одне паралельне перенесення , матимемо

.

Введемо позначення . Тоді останнє рівняння матиме вигляд

.

Це – парабола.

б) .

Тоді рівняння (5) запишеться таким чином:

;

.

Позначимо , тоді

.

Якщо , то це – дві паралельні прямі:

;

якщо то це дві прямі, що зливаються: ;

якщо , то це – дві уявні прямі: .

Отже, будь-яка лінія 2-го порядку є або еліпсом, або гіперболою, або параболою, або парою прямих, що перетинаються, паралельні чи збігаються.

§ 14. Зведення рівняння кривої другого порядку

до канонічного вигляду

Нехай крива 2-го порядку задана загальним рівнянням

(1)

відносно прямокутної системи координат ОXY (рис. 4.51).

Припустимо, що , тобто вектори не є головними напрямками.

Нехай – одиничний вектор головного напряму кривої. Позначимо через – орієнтований кут міх векторами та . Завжди можна вибрати такий головний напрям , що .

Знайдемо координати вектора в системі координат X ОY: . Як було показано в § 11, цей вектор буде головним тоді і тільки тоді, коли його координати задовольняють умову

.

Перетворимо це тригонометричне рівняння:

.

Оскільки , розділимо ліву і праву частини цієї рівності на і введемо нову змінну :

, (2)

звідки

(3)

Система рівнянь (3) матиме ненульовий розв’язок відносно і тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто коли

. (4)

Одержане рівняння (4) називають характеристичним рівнянням кривої (1). Воно квадратне відносно :

;

. (5)

Оскільки дискримінант цього рівняння

то воно завжди має дійсні корені (які можуть збігатися). Позначимо ці корені і . Тоді з рівності (2) маємо:

,

звідки

. (6)

Знаючи тангенс кута, можна знайти його синус і косинус за формулами:

, (7)

де .

Таким чином, вектор буде вектором головного напряму, якщо кут визначається з формул (6), (7).

Здійснимо тепер поворот системи координат так, щоб вісь ОX була напрямлена вздовж вектора . Формули перетворення системи координат матимуть вигляд:

Підставивши ці формули в рівняння (1), матимемо:

Як показано в § 13, коефіцієнт при добутку змінних дорівнює нулю. Знайдемо коефіцієнти при квадратах змінних:

; (8)

. (9)

Додавши ці рівності, дістанемо:

. (10)

У свою чергу перетворивши рівність (8) і взявши до уваги (2), знайдемо:

Отже,

. (11)

За теоремою Вієта з рівняння (5) маємо:

. (12)

З рівностей (10) – (12) дістанемо

,

звідки

.

Отже, в новій системі координат , , , і рівняння кривої набуває вигляду

, (13)

де

Для подальшого спрощення одержаного рівняння (13) застосовується паралельне перенесення системи координат.

Отже, щоб звести рівняння кривої 2-го порядку до канонічного вигляду, необхідно:

1) Скласти характеристичне рівняння кривої

і знайти його корені .

2) Знайти кут повороту системи координат за формулами:

.

3) Записати формули повороту системи координат

і, підставивши їх у відповідне рівняння кривої, знайти коефіцієнти , беручи до уваги, що коефіцієнти при квадратних змінних дорівнюють , а коефіцієнт при добутку дорівнює 0. Записати рівняння кривої в новій системі координат:

.

4) Шляхом паралельного перенесення системи координат отримати канонічне рівняння кривої.

Зауважимо, що коли в загальному рівнянні (1) кривої 2-го порядку коефіцієнт , то зведення його до канонічного вигляду починаємо із пункту 4).

Приклад 1. Звести до канонічного вигляду рівняння кривої

.

Розв’язання. 1) Складемо характеристичне рівняння і знаходимо його корені:

;

.

2) Знайдемо кут повороту

3) Складемо формули повороту:

Запишемо рівняння кривої в новій системі координат:

;

.

4) Виділимо повні квадрати по обох змінних:

;

.

Здійснивши паралельне перенесення за формулами

або

дістанемо

;

.

Отже, дана крива є еліпсом з півосями і центром у точці відносно системи координат .

Система координат утворюється з системи ОXY шляхом повороту на кут і перенесенням початку в точку С (рис. 4.52). Формули перетворення мають вигляд:

;

.

Приклад 2. Звести до канонічного вигляду рівняння кривої

.

Розв’язання

1) Складемо і розв’яжемо характеристичне рівняння:

;

2) Знайдемо кут повороту:

; отже, ,

3) Складемо формули повороту:

,

.

Запишемо рівняння кривої в новій системі координат :

;

.

4) Виділимо повний квадрат по і згрупуємо лінійний доданок з з вільним членом:

;

.

Здійснивши паралельне перенесення за формулами

або

дістанемо

,

або

.

Отже, дана лінія – це парабола з параметром (рис. 4.53).

Nbsp; Рис. 4.53

Формули перетворення системи ОXY в мають вигляд:

;

.