Парабола

Отже, парабола має один асимптотичний напрям. Знайдемо його.

Рівняння (7) для параболи запишеться так: звідки – довільне (рис. 4.31).

Таким чином, асимптотичний напрям параболи задається вектором , тобто асимптотичний напрям параболи збігається з напрямом її осі.

У зв’язку з цим,

якщо , то лінія називається лінією еліптичного типу;

якщо , то лінія називається лінією параболічного типу;

якщо , то лінія називається лінією гіперболічного типу.

Приклад. Знайти асимптотичні напрями кривої

Розв’язання.

Обчислимо

Отже, дана лінія має два асимптотичні напрями. Знайдемо їх із рівняння (7):

, або .

Тому асимптотичні напрями даної лінії задаються векторами і

§ 7. Дотична до кривої 2-го порядку

Означення 7.1. Пряма називається дотичною до кривої 2-го порядку, якщо вона перетинає криву в 2-х дійсних точках, що збігаються.

Виведемо рівняння дотичної до кривої 2-го порядку, заданої в прямокутній системі координат загальним рівнянням:

(1)

Нехай пряма дотикається до кривої 2-го порядку , заданої рівнянням (1), у точці , і параметричні рівняння дотичної мають вигляд:

(2)

Як показано в § 6, параметр , який задає точки перетину кривої (1) з прямою (2), задовольняє рівняння

(3)

Оскільки точка лежить на кривій, то , і рівняння (3) запишеться у вигляді

(4)

Звідси випливає, що пряма матиме з кривою (1) дві точки перетину, що збігаються, тоді і тільки тоді, коли , тобто, коли виконується рівність

.

Отже, пряма буде дотичною до кривої (1) у точці тоді і тільки тоді, коли її напрямним вектором буде вектор , а нормальним вектором – вектор .

Отже, рівняння дотичної має вигляд

або

Оскільки точка належить кривій, то

звідки

Тоді остаточно рівняння дотичної до кривої (1) у точці запишеться у вигляді

(5)

де

Користуючись рівнянням (5), виведемо рівняння дотичної до еліпса, гіперболи і параболи, заданих у канонічній формі.

Еліпс.

Канонічне рівняння еліпса

тому .

Підставивши ці вирази у рівняння (5), матимемо: , або

Це і є рівняння дотичної до еліпса.

2. Гіпербола.

Рівняння гіперболи .

Отже, , тому рівняння дотичної до гіперболи у точці має вигляд: