Теорема 8.1

Світлові промені, які ви­ходять з одного фокуса еліпса, після дзеркального відбиття від еліпса, проходять через його другий фокус.

Доведення

Розглянемо еліпс, заданий канонічним рівнянням (рис. 4.33)

.

Нехай промінь, який виходить з фокуса , зустрічається з еліпсом у точці .

Покажемо, що, відбившись від еліпса, він піде вздовж прямої . Для цього проведемо дотичну до еліпса в точці М і покажемо, що кут падіння , який утворює промінь з дотичною , дорівнює куту відбиття .

Опустимо з фокусів і перпендикуляри і на пряму . Тоді

Як показано в §1 при виведенні канонічного рівняння еліпса,

Рівняння дотичної до еліпса в точці має вигляд

Відстань від точки до прямої дорівнює , а від точки , тому за формулою відстані від точки до прямої (розд. ІІІ, § 12)

де

Тоді

Отже, , і оскільки обидва кути гострі, то , що й треба було довести.