Виберемо на кривій довільну точку М і проведемо через неї площину, паралельну до площини кола g, та твірну SM, яка перетне коло g в деякій точці L

Позначимо через k пряму перетину площини і площини кола g. Опустимо з точки М перпендикуляр MN на пряму k.

Площина, що проходить через твірну конуса m і вісь конуса, перетинає площину по деякій прямій , яка паралельна до прямої m і є віссю симетрії кривої (бо конус і площина симетричні відносно цієї площини). Крім цього, названі площини взаємно перпендикулярні.

Очевидно, що , як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кулі. Але , як відрізки твірних конуса між двома паралельними площинами, , як відріз ки паралельних прямих між двома паралельними площинами ( || ). Отже, .

М – довільна точка на кривій , ця крива і пряма k лежать в одній площині і . Отже, – парабола. Точка – її фокус, а пряма k – директриса. Теорему доведено.

§ 6. Перетин лінії 2-го порядку з прямою.

Асимптотичні напрями

Розглянемо лінію 2-го порядку , задану відносно деякої прямокутної системи координат загальним рівнянням

, (1)

Перепишемо це рівняння таким чином:

,

де при всіх .

Позначимо

(2)

Тоді рівняння (1) запишеться у вигляді

. (3)

Поряд з цією кривою розглянемо пряму, задану в параметричній формі

(4)

Будемо шукати точки перетину прямої (4) з кривою (1). Підставивши (4) в (1), дістанемо

Позначимо

(5)

Тоді останнє рівняння запишеться у вигляді

(6)

Дослідимо рівняння (6). Можливі два випадки:

1. . Дискримінант квадратного рівняння (6)

Якщо , то рівняння має два дійсні корені і, отже, пряма перетинається з кривою у двох різних дійсних точках.

Якщо , то рівняння має два рівні дійсні корені. Отже, пряма перетинається з кривою у 2-х дійсних точках, які збігаються.

Якщо , то рівняння має два різні комплексно-спряжені корені і, отже, пряма перетинається з кривою у двох уявних точках.

2. . У цьому випадку рівняння (6) набуває вигляду

і, отже, все залежить від поведінки і :

– одна дійсна точка перетину;

– немає точок перетину;

– пряма міститься в лінії.

Означення 6.1. Напрям, який задається ненульовим вектором називається асимптотичним напрямом відносно кривої 2-го порядку, якщо пряма, паралельна вектору , або має з кривою не більше однієї точки перетину, або міститься в цій лінії.

Як видно з проведених вище досліджень, напрям буде асимптотичним тоді і тільки тоді, коли , тобто коли

(7)

Дослідимо рівність (7). Розглянемо два випадки:

1. або

Нехай, наприклад, Тоді бо в противному випадку було б , що неможливо, оскільки тоді вектор був би нульовим, а це суперечить означенню асимптотичного напряму.

Перепишемо (7) у вигляді

Це рівняння є квадратним відносно і, отже, кількість асимптотичних напрямків залежить від його дискримінанта.

,

де

.

Звідси приходимо до таких висновків:

якщо , то , і крива має два асимптотичні напрями;

якщо , то , отже, крива має один асимптотичний напрям;

якщо , то і крива не має асимптотичних напрямів.

2. і . Тоді рівняння (7) має вигляд

, (8)

де , бо в противному випадку крива перестає бути лінією 2-го порядку.

З рівняння (8) випливає, що крива має два асимптотичні напрями і .

У цьому випадку , отже, і цей випадок вкладається в рамки висновків, зроблених вище.

Таким чином, кількість асимптотичних напрямів залежить від числа

,

а саме:

якщо , то крива має два асимптотичні напрями;

якщо , то крива має один асимптотичний напрям;

якщо , то крива не має асимптотичних напрямів.

Розглянемо тепер асимптотичні напрями відносно еліпса, гіперболи і параболи.

Еліпс.

Маємо:

Отже, еліпс не має асимптотичних напрямів.