Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойста

Ф-я F(x) называется первообразной для ф-ии f(x) на интервале (a,b) конечном или бесконечном если F(x) диф-ма в каждой точке это интервала и F ’ (x) = f(x).

Если F(x) – первообразная для ф-ии f(x), то и Ф(х) = F(x)+C так же является первообразной для ф-ии f(x) (где С - const).

Ф’(x) = (F(x)+C)’ = F’(x) = f(x).

Если функция f(x) имеет на интервале (a,b) первообразную F(x), то она имеет на этом интервале бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную.

Совокупность всех первообразных для ф-ии f(x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом и записывается:

Основные сво-ва неопределенного интеграла.

1. Диф-ал от неопределенного интеграла равен подъинтегральному выражению.

2. Производная от неопределенного интеграла равна подитегральной функцие:

()’ = f (x);

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф-ии равен равен этой ф-ие плюс const:

4. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла.

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы 2-х ф-ий равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:

2. Положим что Интегрирование заменой переменной.

Пусть требуется найти интеграл от бесконечной ф-ии f(x). x = φ(t), где φ(t) имеет непрерывную производную и обратную ф-ию t = ψ(x).

Тогда справедливо равенство:

f(φ(t)) = φ’(t)

Найдем производную левой и правой части:

f(φ(t)) = f(x);

φ’(t) = ( φ’(t))’_x = ( * φ’(t) * )’_t * t’_x = = f(x).

Из этого следует что формула справедлива.