Розв’язання. Зобразимо заданий трикутник на малюнку

Зобразимо заданий трикутник на малюнку. Позначимо його вершини О (0,0), А (5,0), В (0,5).

Знайдемо частинні похідні першого порядку

.

Прирівняемо їх до нуля

Дістанемо стаціонарну точку М (1,3), що лежить у заданому трикутнику.

Дослідимо функцію на безумовний екстремум всередині області. Знайдемо похідні другого порядку:

.

Дослідимо на знаковизначеність квадратичну форму з матрицею

.

Квадратична форма є напів додатно визначеною, бо , . Отже, не можна зробити висновок про існування екстремуму у точці .

Дослідимо функцію на умовний екстремум на кожні границі області. Розглянемо сторону ОА нашого трикутника. Враховуючи, що для точок цієї сторони виконується умова , знайдемо . Обчислимо похідну та, прирівнюючи її до нуля, знайдемо стаціонарну точку . Точка N (4,0) лежить на стороні ОА заданого трикутника.

Розглянемо сторону ОВ нашого трикутника. Враховуючи, що для точок цієї сторони виконується умова , знайдемо . Обчислимо похідну . Оскільки похідна не дорівнює нулю, функція не має стаціонарних точок.

Розглянемо сторону АВ нашого трикутника, в усіх точках якої . Знайдемо

.

Обчислимо похідну та, прирівнюючи її до нуля, зайдемо стаціонарну точку . Точка P (2,3) лежить на стороні АВ заданого трикутника.

Знайдемо значення функції у точках М (1,3), N (4,0), P (2,3), О (0,0), А (5,0), В (0,5):

, , , , , .

Функція досягає свого найбільшого та найменшого значень в одній з цих точок.

Найбільшого значення функція досягає у точці О (0,0), найменшого значення функція досягає у точці N (4,0).