Розв’язання. Якщо , то функція має вигляд

Якщо , то функція має вигляд

.

Знайдемо частинні похідні першого та другого порядків даної функції:

, ,

, , .

Визначимо координати стаціонарної точки, розв’язавши систему рівнянь:

Отже, маємо одну стаціонарну точку .

Дослідимо одержану функцію двох змінних на екстремум. Перевіримо виконання достатніх умов екстремуму у цій точці. Дослідимо на знаковизначеність квадратичну форму з матрицею

.

Квадратична форма є додатно визначеною, бо , . Отже, у точці функція двох змінних досягає максимуму. Відповідно функція трьох змінних має умовний максимум за умови у точці .

Задача 23. Методом Лагранжа знайти умовні екстремуми функції за даної умови зв’язку .