Випробування за схемою Бернуллі

Нехай проводиться незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з’явитися (з однією і тією ж ймовірністю ).

Знайдемо ймовірність того, що при незалежних випробувань подія А з’явиться рівно разів (і, отже, не з’явиться разів), причому в довільній послідовності.

За теоремою множення ймовірностей незалежних подій для кожної такої послідовності ймовірність появи події А раз (і не появи раз) дорівнює , де . Таких послідовностей є . За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій одержуємо формулу Бернуллі:

,

або

.

Приклад №3. Два рівносильних супротивника проводять спортивні змагання. Що ймовірніше виграти – одну партію з двох чи дві партії з чотирьох? Нічиї до уваги не приймаються.

Розв'язування. Згідно з умовою задачі, . Виявляється, що ймовірніше виграти одну партію з двох, оскільки . Дійсно:

, . .

Приклад № 4. Новий приклад випробовують на міцність, стійкість до вібрації, інші перевантаження. Ймовірність небезпечного перевантаження для приладу при одному випробуванні дорівнює 0,4. Керівництво вирішило провести з приладом три випробування. Відомо, що ймовірність виходу з ладу приладу при одноразовому перевантаженні – 0,2, при дворазовому – 0,8. Визначити ймовірність виходу з ладу приладу після 3-х випробувань.

Розв'язок. Позначимо через А подію – вихід з ладу приладу, а через – гіпотези, які полягають відповідно у відсутності перевантаження, в одно-, дво-, і трикратному перевантаженні приладу.

Згідно з формулою повної ймовірності, маємо:

.

Ймовірності гіпотез визначимо за допомогою формули Бернуллі:

;

;

.

При цьому , , .

Отже, .

Число появ події в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , називається найвірогіднішим, якщо ймовірність того, що подія з’явиться в цих випробуваннях раз, не менша, ніж ймовірність інших можливих результатів випробувань.

Найвірогідніше число визначається з подвійної нерівності:

,

причому

а) якщо – дробове, то існує одне найвірогідніше число ;

б) якщо число – ціле, то існує два найвірогідніших числа , а саме: і ;

в) якщо число – ціле, то найвірогідніше число .

Приклад №5. Товарознавець оглядає 15 зразків товарів, Ймовірність того, що кожен із зразків буде визнано придатним для продажу, дорівнює 0,9. Знайти найвірогідніше число зразків, які товарознавець визнає придатними для продажу.

Розв'язування. За умовою ; ; . Знайдемо з подвійної нерівності

.

Одержуємо:

,

або . Отже, число 14 є найвірогіднішим.

3. Асимптотичні формули (локальна та інтегральна теореми Лапласа; формула Пуассона)

При великих значеннях користуватися формулою Бернуллі складно ( – дуже велике число). В цьому випадку є корисною асимптотична формула Лапласа. Наведемо її.

Теорема 1. (Локальна теорема Лапласа). Якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні стала і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що подія А з’явиться в випробуваннях рівно раз, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше ) значенню функції

,

.

Існує таблиця значень функції (при ). При користуванні нею слід враховувати парність функції : .

Приклад №6. Ймовірність того, що деталь якісна, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що із перевірених 100 деталей рівно 60 – якісних.

Розв’язування. Згідно з локальною теоремою Лапласа, маємо:

.

Таким чином, ймовірність цієї події практично дорівнює нулю.