Теорема 2. (Інтегральна теорема Лапласа)

Якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні стала (і відмінна від 0 та 1), то ймовірність того, що подія А з’явиться у випробуванні від до раз, наближено дорівнює визначеному інтегралу:

,

де , .

Якщо ввести функцію Лапласа

(ця функція протабульована, причому ; при ), то

.

Приклад №7. У швейному цеху є машин. Ймовірність того, що на протязі деякого періоду часу зламається одна голка, дорівнює . Яка ймовірність того, що наявність запасних голок забезпечить роботу всього цеху, якщо , , .

Розв’язок. Використовуємо інтегральну теорему Лапласа. Приймаємо, що , . Маємо:

,

де ;

.

За допомогою таблиці значень функції Лапласа знаходимо:

.

Маємо:

.

Нехай проводиться випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події А одна і та ж сама , причому . За допомогою інтегральної теореми Лапласа можна знайти ймовірність виконання нерівності: , тобто . Виявляється, що

.

Зауваження. Якщо число випробувань велике, а ймовірність появи події в кожному випробуванні дуже мала, то для обчислення користуються формулою Пуассона: , де – число появ події в незалежних випробуваннях, – середнє число появ події в випробуваннях.

Приклад №8. Фермер продає огірки в ящиках - по 100 огірків у кожному ящику. Виявилось, що в кожній партії із 1000 огірків є приблизно 15 неякісних. Питається, скільки огірків потрібно покласти в кожен ящик, щоб з ймовірністю 0,8 задовольнити запити покупців (інакше кажучи, щоб в ящику виявилося не менше, ніж 100 якісних огірків, з ймовірністю 0,8).

Розв’язування. Згідно з умовою, ймовірність того, що огірок неякісний, дорівнює 0,015. Стала Пуассона дорівнює: .

Нехай – це те число огірків в ящику, при якому покупець з ймовірністю 0,8 одержить не менше ста якісних огірків. Позначимо через А подію, ймовірність якої нас цікавить – “серед огірків є бракованих”. Має місце рівність:

,

причому .

Застосовуючи формулу Пуассона, маємо:

.

Таким чином, .

Невідома величина , згідно з умовою, повинна задовольняти нерівність:

.

При одержуємо: .

При .

Таким чином, покупці будуть задоволені, якщо в кожному ящику упаковано 102 огірки.

Аналогічно можна розраховувати запаси промислових товарів, інших продуктів харчування тощо.