Теорема множення ймовірностей залежних подій

Вивчаючи ймовірності випадкових подій, ми вважали, що ці події можуть відбуватися чи ні при виконанні комплексу умов . Якщо ніяких інших обмежень, крім , не накладається, то ймовірність випадкової події називають безумовною. У противному випадку говорять про умовну ймовірність.

Означення. Умовною ймовірністю називається ймовірність події В, обчислена в припущенні, що подія А вже з’явилась.

Сформулюємо теорему множення ймовірностей.

Теорема. Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої, обчислену в припущенні, що перша подія вже з’явилась:

.

Оскільки , то і, отже, .

Наслідок. Ймовірність сумісної появи декількох подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умові ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з’явились:

.

Зокрема, при , позначивши , , , одержимо:

.

Наприклад. Студент, який прийшов на екзамен, добре вивчив 90 із 100 питань програми. Знайти ймовірність того, що цей студент знає відповіді на 3 питання, задані йому екзаменатором.

Розв’язок. Нехай подія А полягає в тому, що студент правильно відповість на перше питання, В – на друге, С – на третє питання.

Знаходимо: ; ; . Маємо: .