Деякі важливі формули теорії ймовірностей

1. Наслідки з теорем додавання і множення ймовірностей:

а) формула повної ймовірності;

б) формули Бейєса.

Має місце формула повної ймовірності:

. (1)

Тут А – це подія, яка може відбутися лише при умові появи однієї з несумісних подій і гіпотез , які утворюють повну групу; – ймовірність появи події А при умові, що має місце гіпотеза .

Дійсно, подія А відбудеться, якщо з’явиться одна з несумісних подій . За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо:

.

За теоремою множення ймовірностей одержуємо: . Отже, , що і потрібно було довести.

Нехай подія А, яка може з’явитися при появі однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу, в результаті проведеного випробування з’явилась. Знайдемо ймовірності . За теоремою множення ймовірностей маємо: ; . Отже, . Звідси одержуємо:

,

або

.

Це – формули Байєса, які дозволяють переоцінювати ймовірності гіпотез після того, як стає відомим результат випробування.

Розглянемо такі приклади.

Приклад №1. Студент вивчив білетів з . Коли ймовірність витягнути “щасливий” білет для нього буде більшою: коли він тягне білет першим (а) чи другим (б)?

Розв'язування.

а) Нехай подія – дістався “щасливий” білет, а подія – “нещасливий” білет. Згідно з класичним означенням ймовірності, маємо:

.

Таким чином, якщо студент тягне білет першим, то ймовірність витягнути “щасливий” білет дорівнює .

б) Якщо студент тягне білет другим, то можливі такі гіпотези:

– перший студент витягнув “щасливий” для другого студента білет;

– перший студент витягнув “нещасливий” для другого студента білет.

Тоді , . Використовуючи формулу повної ймовірності, маємо:

Отже, ймовірності витягнути “щасливий” білет однакові – і коли студент тягне білет першим, і коли він тягне білет другим.

Приклад №2. Ймовірність одержання кредиту для першої фірми – 0,6, для другої – 0,5, для третьої – 0,4. Відомо, що двом фірмам надано кредит. Визначити ймовірність того, що кредит надано третій фірмі.

Розв'язок. Нехай подія А – це першій фірмі надано кредит, В – другій фірмі надано кредит, С – третій фірмі надано кредит. – двом фірмам надано кредит. Висуваємо такі дві гіпотези:

– третій фірмі надано кредит;

– третій фірмі не надано кредит .

Згідно з умовою, маємо: , . Шукану ймовірність визначимо за формулою Байєса: . Зауважимо, що (ми користуємося формулою для обчислення ймовірності тільки однієї події), а .

Таким чином, ,а .