Формула включень та виключень

Розглянемо формулу решта, яка має застосування в теорії ймовірностей і ілюструється за допомогою діаграм Ейлера-Венна.

Нехай – підмножини множини . Нехай – доповнення до цих множин. Позначимо , ,..., , , – число елементів відповідних множин.

Має місце формула:

.

Якщо, зокрема, мова йде про три підмножини (скажімо, ), то одержуємо формулу:

. (*)

Наприклад. Із 90 випускників вузу 50 знають англійську мову, 30 – німецьку і 20 – французьку. Англійську і німецьку мову знають 10 випускників, англійську і французьку – 8, німецьку і французьку – 5, всі 3 мови – 3 випускники. Скільки випускників не знають жодної з цих мов?

Розв'язок. Позначимо через А множину випускників, що знають англійську мову, через В – німецьку, через С – французьку. Нехай – множина усіх 90 випускників.

За формулою (*) одержуємо:

.

Таким чином, 10 випускників не знають жодної з цих мов.

Цей же самий приклад можна розв’язати за допомогою діаграм Ейлера-Венна.