Розглянемо диференціальне рівняння

в якому - лінійні числа, а - функція виду

де - многочлени -го і -го степеня, - дійсні числа. Виявляється, що це рівняння можна досить легко розв’язати, не вдаючись до методу варіації довільних сталих і навіть без інтегрування. Це надзвичайно важливо, бо багато практичних задач зводиться саме до такого рівня. Описаний нижче метод називають методом підбору.

7.2.1. Для простоти розглянемо спочатку частинний випадок правої частини рівняння, коли :

Вигляд частинного розв'язку залежить від того, збігається чи ні число з коренями характеристичного рівняння.

А) Нехай число не є коренем характеристичного рівняння: Тоді частинний розв'язок слід шукати у вигляді

де - многочлени n – го степеня відносно х з невизначеними коефіцієнтами :

Б) Нехай число є однократним (простим) коренем характеристичного рівняння. Частинний розв’язок в цьому разі шукатимемо у формі

В) Нехай число є двократним коренем характеристичного рівняння: Частинний розв’язок слід шукати у вигляді

Розглянемо диференціальне рівняння загального виду

.

У цьому разі форма частинного розв’язку істотно залежить від того, збігається чи ні комплексне число з коренями характеристичного рівняння.

А) Нехай число не є коренем характеристичного рівняння: Тоді частинний розв'язок шукають у вигляді

де і - многочлени з невизначеними коефіцієнтами одного і того самого степеня, що дорівнює найбільшому степеню многочленів та .

Б) Якщо число є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв'язок має вигляд

.