Вступ до математичного аналізу

2.1. Знайти значення функції, не користуючись правилом Лопіталя:

а)

Поділимо чисельник і знаменник на змінну у найвищому степені, тобто на :

б)

Помножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до чисельника, тобто на :

в)

Позбудемося даної невизначеності, використовуючи першу чудову границю :

г)

Розкриємо дану границю за допомогою другої чудової границі: Для того, щоб можна було використати другу чудову границю, проведемо заміну Тоді маємо наступне:

Застосуємо другу чудову границю. Для цього піднесемо значення виразу до ступеню :

Відповідь: а) 7; б) ; в) 2; г)

2.2. Дослідити неперервність функції. Зробити схематичний рисунок

а)

Якщо для кожної точки а інтервалу виконується умова: , то дана функція є неперервною на даному інтервалі, в іншому точка а є точкою розриву.

Знайдемо критичні точки даної функції та перевіримо, чи є вони точками розриву:

Перевіримо, чи є точка точкою розриву:

, тому точка є точкою розриву другого роду, оскільки границя

Таким чином, інтервали неперервності:

б)

Функції однозначно є неперервними.

Перевіримо, чи є точками розриву точки та

Отже, точка є точкою розриву першого роду та точкою стрибка.

Таким чином, точка не є точкою розриву.

Отже, інтервали неперервності: .

Відповідь: а)

б)